Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(g) A medida da área da superfície da chapa é dada por A=(1,26 \pm 0,01) \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se a afirmação
A=(1,26\pm0,01)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2
para a área da superfície da chapa está correta, justificando a resposta.
As informações fornecidas são:
a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\\ \mathrm{m} (comprimento),
b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\\ \mathrm{m} (largura).
A espessura não é necessária para a área da superfície plana (área da face), que é A=a\cdot b.

Passo 2

Calculo do valor central (nominal) de A apenas com os valores médios:
a = 10,02\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,1002\\ \mathrm{m}, \qquad b = 5,07\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,0507\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
A = a\cdot b = 0,1002\cdot 0,0507 = 0,00508014\\ \mathrm{m}^2.
Em potências de 10^{-2} isto é
A = 0,508014\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Explicando a regra de propagação de incerteza para produto (mini-aula):
Quando duas grandezas independentes x e y são multiplicadas para dar z=xy,
a incerteza absoluta em z pode ser encontrada usando as incertezas relativas em x e em y.
A fórmula é:
\Delta z = z\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta y}{y}\right)^{2}},
onde \Delta x e \Delta y são as incertezas absolutas de x e y.
Intuição: as frações de erro se combinam em quadratura porque os erros são independentes e não sistemáticos.

Passo 4

Calculo das incertezas absolutas e relativas de a e b:
\Delta a = 0,03\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,0003\\ \mathrm{m}, \qquad \Delta b = 0,04\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,0004\\ \mathrm{m}.
Relativas:
\frac{\Delta a}{a} = \frac{0,0003}{0,1002} \approx 0,002994, \qquad \frac{\Delta b}{b} = \frac{0,0004}{0,0507} \approx 0,007892.

Passo 5

Aplico a fórmula da propagação para obter \Delta A:
\Delta A = A\sqrt{(0,002994)^{2} + (0,007892)^{2}}.
Cálculo interno:
(0,002994)^{2}\approx 8,964\times10^{-6}, \qquad (0,007892)^{2}\approx 6,230\times10^{-5},
\text{soma}\approx 7,1264\times10^{-5},\qquad \sqrt{\dots}\approx 0,008441.
Logo
\Delta A \approx 0,00508014\cdot0,008441 \approx 0,0000429\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Arredondamento e apresentação em notação conveniente:
normalmente a incerteza é dada com 1 ou 2 algarismos significativos. Tomando uma casa significativa para \Delta A:
\Delta A \approx 0,00004\\ \mathrm{m}^2.
Correspondente em \times10^{-2}:
A = 0,508\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2,\qquad \Delta A = 0,004\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.
Portanto a área com incerteza fica, por exemplo,
A = (0,508\pm0,004)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2,
ou, escrevendo em 10^{-3},
A = (5,08\pm0,04)\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 7

Comparação com a afirmação do enunciado e conclusão:
a afirmação dizia A=(1,26\pm0,01)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2, que numericamente é 0,0126\\ \mathrm{m}^2.
Isto é muito diferente do valor calculado 0,00508\\ \mathrm{m}^2. A diferença é
0,0126 - 0,00508014 \approx 0,00752\\ \mathrm{m}^2,
que é cerca de 175 vezes a incerteza \Delta A calculada, ou seja, a afirmação está claramente fora do intervalo de erro — não é compatível.

Resposta

Errada. A área correta é A=(0,508\pm0,004)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.

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