Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(h) O volume médio da chapa é dado por V=a b c=41,2507368 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as três medidas da chapa com suas incertezas:
a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\,\mathrm{m},
b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\,\mathrm{m},
c=(8,12\pm0,05)\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
A afirmação a verificar é: “O volume médio da chapa é dado por V=abc=41,2507368\\ \mathrm{cm}^3.”
O que nos pedem aqui é julgar se essa afirmação está correta. Para isso precisamos: (i) calcular o volume médio usando os valores centrais; (ii) avaliar a incerteza no volume; (iii) verificar se faz sentido apresentar tantos dígitos sem indicação de incerteza.

Passo 2

Calculemos primeiro o volume usando os valores centrais (produto dos comprimentos). Vou transformar para metros, multiplicar e depois converter para \mathrm{cm}^3.
Valores centrais em metros:
a=10{,}02\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}1002\,\mathrm{m},
b=5{,}07\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}0507\,\mathrm{m},
c=8{,}12\times10^{-3}\,\mathrm{m}=0{,}00812\,\mathrm{m}.
Produto:
V = a b c = 0{,}1002\cdot0{,}0507\cdot0{,}00812.
Faço a conta em duas etapas para ficar claro:
0{,}1002\cdot0{,}0507=0{,}00508014,
0{,}00508014\cdot0{,}00812=0{,}0000412507368\\ \mathrm{m}^3.
Convertendo para \mathrm{cm}^3 (lembre: 1\\ \mathrm{m}^3=10^{6}\\ \mathrm{cm}^3):
V=0{,}0000412507368\cdot10^{6}=41{,}2507368\\ \mathrm{cm}^3.
Portanto o cálculo numérico sem considerar incertezas coincide com o número dado na afirmação.

Passo 3

No entanto, em medições experimentais não basta dar o valor central com muitos dígitos: devemos também dar a incerteza do volume. Para grandezas que são produto/razão de medidas independentes, usamos a propagação de erros em termos das incertezas relativas.

Passo 4

Regra de propagação (produto): se V=a b c com incertezas \sigma_a,\sigma_b,\sigma_c independentes, a incerteza relativa de V é
\frac{\sigma_V}{V}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_a}{a}\right)^2+\left(\frac{\sigma_b}{b}\right)^2+\left(\frac{\sigma_c}{c}\right)^2}.
Aqui \sigma_a,\sigma_b,\sigma_c são as incertezas absolutas nas respectivas medições (todas em metros). Esta fórmula vem da derivada logarítmica do produto e é a forma padrão para produtos de variáveis independentes.

Passo 5

Calculemos cada incerteza absoluta em metros (os \pm dados multiplicam as potências de 10 originais):
\sigma_a=0{,}03\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}0003\,\mathrm{m},
\sigma_b=0{,}04\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0{,}0004\,\mathrm{m},
\sigma_c=0{,}05\times10^{-3}\,\mathrm{m}=0{,}00005\,\mathrm{m}.
Agora as incertezas relativas:
\frac{\sigma_a}{a}=\frac{0{,}0003}{0{,}1002}\approx0{,}002994,
\frac{\sigma_b}{b}=\frac{0{,}0004}{0{,}0507}\approx0{,}007891,
\frac{\sigma_c}{c}=\frac{0{,}00005}{0{,}00812}\approx0{,}006158.
Somando em quadratura:
\left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^2\approx(0{,}002994)^2+(0{,}007891)^2+(0{,}006158)^2\approx0{,}000109164,
\frac{\sigma_V}{V}\approx\sqrt{0{,}000109164}\approx0{,}01045\quad(\text{aprox. }1{,}045\%).

Passo 6

Agora a incerteza absoluta em \mathrm{cm}^3. Usamos o V já convertido:
V\approx41{,}2507368\\ \mathrm{cm}^3,\qquad \sigma_V=V\cdot0{,}01045\approx41{,}2507368\cdot0{,}01045\approx0{,}43\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Regras práticas de apresentação: a incerteza costuma ser dada com 1 algarismo significativo (às vezes 2 se o primeiro dígito for 1 ou 2). Assim tomamos \sigma_V\approx0{,}4\\ \mathrm{cm}^3. O valor do volume deve ser arredondado à mesma casa decimal da incerteza (a casa dos décimos). Logo escrevemos
V=(41{,}3\pm0{,}4)\\ \mathrm{cm}^3.
Isto mostra que apresentar V com oito casas decimais como 41{,}2507368\\ \mathrm{cm}^3 é enganoso: a precisão das medidas originais não justifica esses dígitos adicionais e a afirmação carece de indicação da incerteza.

Resposta

Errada. O cálculo aritmético está correto, mas a forma proposta dá dígitos sem significado e não mostra a incerteza; o resultado correto, com incerteza, é V=(41{,}3\pm0{,}4)\\ \mathrm{cm}^3.

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