ointC F d r, onde F(x, y)=(-3 x^2 y, 3 x y^2), e C é a circunferência x^2+y^2-4 y=0, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCFcdot dr,
onde F(x,y)=(-3x^2y,;3xy^2) e C é a circunferência
x^2+y^2-4y=0
orientada no sentido anti-horário.
Isso faz parte do conteúdo de integrais de linha e do Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se escrevemos F=(P,Q) com
P(x,y)=-3x^2y, Q(x,y)=3xy^2,
então
ointCP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=3y^2, partial Ppartial y=-3x^2,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =3y^2-(-3x^2) =3l(x^2+y^2r)
Portanto
ointCFcdot dr =integral duplaD3l(x^2+y^2r),dA

Passo 4

A região D é o disco de raio R=2 centrado em (0,2). Para calcular
integral duplaD(x^2+y^2),dA
usamos o Teorema de Eixos Paralelos (momentos de inércia):
para um disco de raio R e área pi R^2 deslocado a uma distância d da origem,
integral duplaD(x^2+y^2),dA =pi R^42+pi R^2d^2
Aqui R=2 e d=2, então
integral duplaD(x^2+y^2),dA =picdot 2^42+picdot2^2cdot2^2 =8pi+16pi=24pi
Multiplicando por 3 vem
ointCFcdot dr =3cdot24pi=72pi

Resposta

72pi

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