Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?
[A] 8!
[B] 7·7!
[C] 7!
[D] 2·7!
[E] 6·7!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos 8 alunos, incluindo Gomes e Oliveira, que vão se sentar em 8 poltronas alinhadas na primeira fileira do auditório. O objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes podemos arrumar esses alunos de forma que Gomes e Oliveira não fiquem sentados juntos.
Aqui, estamos lidando com arranjos e princípio da contagem em combinatória. Vamos precisar calcular o número total de arranjos possíveis e, em seguida, subtrair aqueles em que Gomes e Oliveira estão juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de arrumar os 8 alunos nas 8 poltronas sem nenhuma restrição. Como estamos falando de arranjos onde a ordem importa, usamos o fatorial:
8! = 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 40.320
Então, existem 40.320 maneiras de arrumar os 8 alunos.

Passo 3

Agora, precisamos calcular quantas dessas maneiras têm Gomes e Oliveira sentados juntos. Para fazer isso, podemos considerar Gomes e Oliveira como uma única “unidade” ou “bloco”.
Se tratarmos Gomes e Oliveira como um único bloco, então temos:
  • 7 “unidades” para arrumar: o bloco Gomes-Oliveira e os outros 6 alunos.
  • Essas 7 unidades podem ser arranjadas de 7! maneiras.
Além disso, dentro do bloco Gomes-Oliveira, podemos trocar a posição dos dois:
2! = 2 times 1 = 2
Portanto, o número de arranjos onde Gomes e Oliveira estão juntos é:
2! times 7! = 2 times 5.040 = 10.080

Passo 4

Para encontrar o número de arranjos onde Gomes e Oliveira não estão juntos, subtraímos o número de arranjos onde eles estão juntos do total de arranjos:
8! - 2 times 7! = 40.320 - 10.080 = 30.240

Resposta

A resposta correta é a opção [E] 6·7!.

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