No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R$ 12.000,00. O mesmo capital, investido durante 5 meses, no mesmo regime de juros, produziu o montante de R$ 14.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre juros simples, que é um jeito de calcular o quanto o dinheiro investido rende ao longo do tempo. A gente tem um capital (o dinheiro inicial) que, investido por 2,5 meses, deu um montante de R$ 12.000,00. Se o mesmo capital for investido por 5 meses, o montante sobe para R$ 14.000,00. Nosso objetivo é descobrir quanto é esse capital inicial e ver em qual das opções ele se encaixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula dos juros simples:
M = C + J
Onde:
- $ M $ é o montante final
- $ C $ é o capital inicial
- $ J $ são os juros
Os juros podem ser calculados por:
M
Onde:
- $ i $ é a taxa de juros
- $ t $ é o tempo de investimento
Vamos usar essas duas informações para montar duas equações com o mesmo capital $ C $.

Passo 3

Para o primeiro investimento de 2,5 meses com montante de R$ 12.000,00:
12.000,00**:
Podemos simplificar isso para:
12.000 = C + C times i times 2,5
Podemos simplificar isso para: 12.000 = C(1 + 2,5i) çã

Passo 4

Para o segundo investimento de 5 meses com montante de R$ 14.000,00:
14.000,00**:
Simplificando:
14.000 = C + C times i times 5
Simplificando: 14.000 = C(1 + 5i) çã

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. $ 12.000 = C \times (1 + 2,5i) $
  2. $ 14.000 = C \times (1 + 5i) $
Podemos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar $ C $:
12.000 = C times (1 + 2,5i)
Simplificando:
14.000 = C times (1 + 5i)
C

Passo 6

Vamos resolver essa fração:
7(1 + 2,5i) = 6(1 + 5i)
7 + 17,5i = 6 + 30i
Agora, vamos isolar $ i $:
i
17,5i - 30i = 6 - 7
-12,5i = -1
i = -1-12,5 ê

Passo 7

Agora que sabemos a taxa de juros ($ i = 8% $), vamos usar a Equação 1 para encontrar o capital $ C $:
i = 8%
C
12.000 = C times (1 + 2,5 times 0,08)
12.000 = C times (1 + 0,2)
12.000 = C times 1,2

Resposta

O capital é superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
Alternativa C.

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