No regime de juros simples, determinado capital investido durante 2,5 meses produziu o montante de R$ 12.000,00. O mesmo capital, investido durante 5 meses, no mesmo regime de juros, produziu o montante de R$ 14.000,00. Nesse caso, é correto afirmar que esse capital é
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.
A) inferior a R$ 9.400,00.
B) superior a R$ 9.400,00 e inferior a R$ 9.800,00.
C) superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
D) superior a R$ 10.200,00 e inferior a R$ 10.600,00.
E) superior a R$ 10.600,00.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre juros simples, que é um jeito de calcular o quanto o dinheiro investido rende ao longo do tempo. A gente tem um capital (o dinheiro inicial) que, investido por 2,5 meses, deu um montante de R$ 12.000,00. Se o mesmo capital for investido por 5 meses, o montante sobe para R$ 14.000,00. Nosso objetivo é descobrir quanto é esse capital inicial e ver em qual das opções ele se encaixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula dos juros simples:
Onde:
- $ M $ é o montante final
- $ C $ é o capital inicial
- $ J $ são os juros
Os juros podem ser calculados por:
Onde:
- $ i $ é a taxa de juros
- $ t $ é o tempo de investimento
Vamos usar essas duas informações para montar duas equações com o mesmo capital $ C $.
Passo 3
Para o primeiro investimento de 2,5 meses com montante de R$ 12.000,00:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Para o segundo investimento de 5 meses com montante de R$ 14.000,00:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos duas equações:
- $ 12.000 = C \times (1 + 2,5i) $
- $ 14.000 = C \times (1 + 5i) $
Podemos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar $ C $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver essa fração:
Agora, vamos isolar $ i $:
Passo 7
Agora que sabemos a taxa de juros ($ i = 8% $), vamos usar a Equação 1 para encontrar o capital $ C $:
Resposta
O capital é superior a R$ 9.800,00 e inferior a R$ 10.200,00.
Alternativa C.
Alternativa C.