Oito cargas pontuais idênticas de Q C estão posicionadas nos vértices de um cubo cujo lado tem comprimento a, com uma carga na origem e com as três cargas mais próximas em (a, 0,0),(0, a, 0) e (0,0, a). Encontre uma expressão para o vetor da força total na carga em P(a, a, a), considerando o espaço livre.

Passo 1

O enunciado diz que há oito cargas pontuais iguais de valor Q nos vértices de um cubo de aresta a, e queremos a força resultante sobre a carga em P(a,a,a). O conteúdo é a Lei de Coulomb vetorial e soma de vetores forças.

Passo 2

A força sobre a carga em P devido a uma carga em rj é
Fj = kQ^2l| rj- rPr|^3,( rj- rP),
onde k=1/(4pivarepsilon0) e rP=(a,a,a). A força total é F=sumj=1^7 Fj.

Passo 3

Contribuição da carga em (0,0,0). O vetor r1- rP=(-a,-a,-a) tem módulo raiz3,a, logo
F1 = kQ^2(raiz3a)^3(-a,-a,-a) = -,kQ^23raiz3,a^2,(1,1,1)

Passo 4

Contribuição das três cargas em (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a). Cada uma fica a distância raiz2a de P. Por simetria, cada força vale
kQ^2(raiz2a)^3,(0,-a,-a) = kQ^22raiz2,a^2,(0,-1,-1)
ou permutações. Somando as três:
F2,3,4 = kQ^22raiz2,a^2l[(0,-1,-1)+(-1,0,-1)+(-1,-1,0)r] = -,kQ^2raiz2,a^2,(1,1,1)

Passo 5

Contribuição das três cargas em (0,a,a), (a,0,a) e (a,a,0). Cada uma está a distância a de P, e as forças são
kQ^2a^3(-a,0,0)= -kQ^2a^2(1,0,0)
ou permutações. Somando:
F5,6,7 = -kQ^2a^2,(1,1,1)

Passo 6

Somando todas as contribuições em (1,1,1):
F = l[-tfrac13raiz3-tfrac1raiz2-1r]kQ^2a^2,(1,1,1) = -kQ^2a^2l(1+1raiz2+13raiz3r)(1,1,1)

Resposta

boxed F = -k,Q^2a^2l(1+1raiz2+13raiz3r)l( i+ j+ kr),
onde k=1/(4pivarepsilon0).

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