Oito pessoas, entre elas um casal e seu filho, são colocadas aleatoriamente em fila. Qual é a probabilidade de que a família fique junta?
Passo 1
O enunciado: temos oito pessoas colocadas aleatoriamente em fila. Entre elas há uma família formada por um casal e seu filho (ou seja, um grupo de três pessoas). A pergunta é: qual é a probabilidade de que as três pessoas dessa família fiquem juntas, ou seja, ocupem três posições consecutivas na fila?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Número total de pessoas:
. - Tamanho da família:
. - Arranjo aleatório uniforme (todas as ordens são igualmente prováveis).
Passo 2
Vamos contar primeiro quantas ordens possíveis existem no total (espaço amostral). Quando temos
pessoas distintas em fila, o número de maneiras de ordená‑las é dado por
(lê‑se “
fatorial”), onde
Aqui
, portanto o número total de ordenações é
Passo 3
Agora vamos contar as ordenações favoráveis: as em que os três membros da família ficam juntos. A técnica clássica é tratar a família inteira como um único “bloco” temporário. Se agrupamos os
da família como um bloco, então, além desse bloco, restam
outras pessoas individuais, totalizando
“objetos” a serem ordenados na fila.
Passo 4
O número de maneiras de ordenar esses
objetos (o bloco + as 5 pessoas) é
Mas dentro do bloco a família pode se organizar entre si de diversas maneiras: as três pessoas podem ser permutadas internamente em
formas (por exemplo: pai‑mãe‑filho, mãe‑pai‑filho, etc.). Pelo princípio multiplicativo, o número total de ordenações em que a família fica junta é
Passo 5
A probabilidade pedida é a razão entre ordenações favoráveis e ordenações totais:
Para simplificar, observe que
. Cancelando
no numerador e denominador,
Passo 6
Interpretação numérica (opcional, só para ter ideia do tamanho):
, ou seja aproximadamente
. Você pode guardar a fração
como resposta exata — é a forma mais limpa para uma prova.