Oito pessoas, entre elas um casal e seu filho, são colocadas aleatoriamente em fila. Qual é a probabilidade de que a família fique junta?

Passo 1

O enunciado: temos oito pessoas colocadas aleatoriamente em fila. Entre elas há uma família formada por um casal e seu filho (ou seja, um grupo de três pessoas). A pergunta é: qual é a probabilidade de que as três pessoas dessa família fiquem juntas, ou seja, ocupem três posições consecutivas na fila?
Informações relevantes dadas:
  • Número total de pessoas: 8.
  • Tamanho da família: 3.
  • Arranjo aleatório uniforme (todas as ordens são igualmente prováveis).

Passo 2

Vamos contar primeiro quantas ordens possíveis existem no total (espaço amostral). Quando temos n pessoas distintas em fila, o número de maneiras de ordená‑las é dado por n! (lê‑se “ n fatorial”), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui n=8, portanto o número total de ordenações é
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320.

Passo 3

Agora vamos contar as ordenações favoráveis: as em que os três membros da família ficam juntos. A técnica clássica é tratar a família inteira como um único “bloco” temporário. Se agrupamos os 3 da família como um bloco, então, além desse bloco, restam 5 outras pessoas individuais, totalizando 6 “objetos” a serem ordenados na fila.

Passo 4

O número de maneiras de ordenar esses 6 objetos (o bloco + as 5 pessoas) é
6! = 720.
Mas dentro do bloco a família pode se organizar entre si de diversas maneiras: as três pessoas podem ser permutadas internamente em
3! = 6
formas (por exemplo: pai‑mãe‑filho, mãe‑pai‑filho, etc.). Pelo princípio multiplicativo, o número total de ordenações em que a família fica junta é
\text{favoráveis} = 6!\cdot 3! = 720\cdot 6 = 4320.á

Passo 5

A probabilidade pedida é a razão entre ordenações favoráveis e ordenações totais:
P=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{6!\cdot3!}{8!}.á
Para simplificar, observe que 8! = 8\cdot7\cdot6!. Cancelando 6! no numerador e denominador,
P=\frac{3!}{8\cdot7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}.

Passo 6

Interpretação numérica (opcional, só para ter ideia do tamanho): \dfrac{3}{28}\approx0{,}10714, ou seja aproximadamente 10{,}714\%. Você pode guardar a fração \dfrac{3}{28} como resposta exata — é a forma mais limpa para uma prova.

Resposta

\frac{3}{28}

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