Os tempos de vida de lâmpadas podem ser descritos por uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 h . O tempo de vida mediano dessas lâmpadas é então, aproximadamente, em horas, de: (use \ln 0,5=-0,69 )
\bigcirc a. \mathbf{8 8} horas
\bigcirc b. 112 horas
\bigcirc c. 100 horas
\bigcirc d. 69 horas

Passo 1

O enunciado diz que os tempos de vida de lâmpadas seguem uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Pergunta: qual é o tempo de vida mediano dessas lâmpadas, aproximadamente, em horas? Foi dado também para usar \ln 0,5 = -0,69.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tempo médio (esperança) =100 horas.
  • A distribuição é exponencial.
  • Valor dado: \ln 0,5 = -0,69.
    O que se pede: calcular o valor da mediana (tempo m tal que metade das lâmpadas falham antes de m e metade depois), em horas, e escolher entre as alternativas.

Passo 2

Vamos ligar a média da exponencial ao seu parâmetro. Na distribuição exponencial usamos o parâmetro de taxa \lambda definido por
\text{média}=\frac{1}{\lambda}.é
Aqui a média é 100, portanto
\lambda=\frac{1}{100}=0,01.
Explicação curta: \lambda tem unidade “por hora” e indica a taxa de falha; média maior implica \lambda menor.

Passo 3

Definição de mediana para uma variável contínua T: a mediana m é o ponto que satisfaz
P(T\le m)=0,5.
Para a exponencial, a função sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t}.
Então P(T\le m)=1-S(m)=1-e^{-\lambda m}. Igualando a 0,5 obtemos a equação que define a mediana.

Passo 4

Escrevendo a equação da mediana:
1-e^{-\lambda m}=0,5.
Rearranjando:
e^{-\lambda m}=0,5.
Aplicando logaritmo natural:
-\lambda m=\ln 0,5.
Logo
m=-\frac{\ln 0,5}{\lambda}.
Comentário didático: aqui isolamos m usando propriedades do logaritmo; \ln é a função inversa da exponencial.

Passo 5

Substituímos \lambda=0,01 e \ln 0,5=-0,69 (valor fornecido):
m=-\frac{-0,69}{0,01}=\frac{0,69}{0,01}.
Fazendo a divisão:
m=0,69\div 0,01=69.
Interpretação: a mediana é cerca de 69 horas. Observação: para a exponencial a mediana é \ln 2 vezes a média; \ln 2\approx0,693, então 100\cdot0,693\approx69{,}3, consistente com o cálculo usando \ln 0,5.

Resposta

d. 69 horas

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