Os tempos de vida de lâmpadas podem ser descritos por uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 h . O tempo de vida mediano dessas lâmpadas é então, aproximadamente, em horas, de: (use
)
a.
horas
b. 112 horas
c. 100 horas
d. 69 horas
Passo 1
O enunciado diz que os tempos de vida de lâmpadas seguem uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de
horas. Pergunta: qual é o tempo de vida mediano dessas lâmpadas, aproximadamente, em horas? Foi dado também para usar
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tempo médio (esperança)
horas. - A distribuição é exponencial.
- Valor dado:
.
O que se pede: calcular o valor da mediana (tempotal que metade das lâmpadas falham antes de e metade depois), em horas, e escolher entre as alternativas.
Passo 2
Vamos ligar a média da exponencial ao seu parâmetro. Na distribuição exponencial usamos o parâmetro de taxa
definido por
Aqui a média é
, portanto
Explicação curta:
tem unidade “por hora” e indica a taxa de falha; média maior implica
menor.
Passo 3
Definição de mediana para uma variável contínua
: a mediana
é o ponto que satisfaz
Para a exponencial, a função sobrevivência (probabilidade de durar mais que
) é
Então
. Igualando a
obtemos a equação que define a mediana.
Passo 4
Escrevendo a equação da mediana:
Rearranjando:
Aplicando logaritmo natural:
Logo
Comentário didático: aqui isolamos
usando propriedades do logaritmo;
é a função inversa da exponencial.
Passo 5
Substituímos
e
(valor fornecido):
Fazendo a divisão:
Interpretação: a mediana é cerca de
horas. Observação: para a exponencial a mediana é
vezes a média;
, então
, consistente com o cálculo usando
.
Resposta
d. 69 horas