Questão 3
Considere o experimento no qual duas lâmpadas são acesas ao mesmo tempo, sendo que o tempo de vida da primeira tem distribuição exponencial com média
horas e o tempo de vida da segunda é independente do da primeira e tem distribuição exponencial com média
horas. A probabilidade de pelo menos uma das duas lâmpadas queimar nas primeiras 4 h é:
a.
b.
c.
d.
Considere o experimento no qual duas lâmpadas são acesas ao mesmo tempo, sendo que o tempo de vida da primeira tem distribuição exponencial com média
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Duas lâmpadas são acesas ao mesmo tempo; os tempos de vida são independentes.
- O tempo de vida da primeira lâmpada tem média
horas. - O tempo de vida da segunda lâmpada tem média
horas. - Pergunta: qual é a probabilidade de pelo menos uma das duas lâmpadas queimar nas primeiras
horas? - As alternativas oferecidas são:
Passo 2
Lembrete essencial sobre a distribuição exponencial (explicação didática):
- Se uma variável aleatória
tem distribuição exponencial com taxa (ou parâmetro) , escrevemos . - A função de sobrevivência (probabilidade de viver mais que
horas) é Isso vem do fato de que a função de distribuição acumulada é . - A média (esperança) de
é (Se quiser, essa fórmula resulta do cálculo , que por integração por partes dá .) - Portanto, se o enunciado diz que a média é
, a taxa é . Se a média é , a taxa é .
Passo 3
Traduzindo o evento pedido em matemática:
- “Pelo menos uma queimar nas primeiras
horas” é o evento união , onde é o tempo da primeira lâmpada e o da segunda. - Uma forma prática de calcular essa probabilidade é usar o complemento:
- “Nenhuma queima em
h” significa e simultaneamente, isto é .
Passo 4
Usando independência e as funções de sobrevivência:
- Como
e são independentes, - Pela propriedade da exponencial, com taxas identificadas no Passo 2:
- Multiplicando:
Passo 5
Conclusão final do cálculo:
- Usando o complemento do Passo 3,
- Conferindo com as alternativas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)