Questão 3
Considere o experimento no qual duas lâmpadas são acesas ao mesmo tempo, sendo que o tempo de vida da primeira tem distribuição exponencial com média \frac{1}{\lambda} horas e o tempo de vida da segunda é independente do da primeira e tem distribuição exponencial com média \frac{1}{2 \lambda} horas. A probabilidade de pelo menos uma das duas lâmpadas queimar nas primeiras 4 h é:
\bigcirc a. 1-e^{-32 \lambda}
\bigcirc b. 1-\left(e^{-4 \lambda}+e^{-8 \lambda}\right)
\bigcirc c. 1-e^{-8 \lambda}
\bigcirc d. 1-e^{-12 \lambda}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Duas lâmpadas são acesas ao mesmo tempo; os tempos de vida são independentes.
  • O tempo de vida da primeira lâmpada tem média \frac{1}{\lambda} horas.
  • O tempo de vida da segunda lâmpada tem média \frac{1}{2\lambda} horas.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de pelo menos uma das duas lâmpadas queimar nas primeiras 4 horas?
  • As alternativas oferecidas são: \text{(a) }1-e^{-32\lambda},\quad \text{(b) }1-\bigl(e^{-4\lambda}+e^{-8\lambda}\bigr),\quad \text{\text{(c)} }1-e^{-8\lambda},\quad \text{(d) }1-e^{-12\lambda}.

Passo 2

Lembrete essencial sobre a distribuição exponencial (explicação didática):
  • Se uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com taxa (ou parâmetro) \mu>0, escrevemos X\sim\mathrm{Exp}(\mu).
  • A função de sobrevivência (probabilidade de viver mais que t horas) é P(X>t)=e^{-\mu t},\quad t\ge0.Isso vem do fato de que a função de distribuição acumulada é F_X(t)=1-e^{-\mu t}.
  • A média (esperança) de X é E[X]=\frac{1}{\mu}.(Se quiser, essa fórmula resulta do cálculo E[X]=\int_{0}^{\infty} t\,\mu e^{-\mu t}\,dt, que por integração por partes dá 1/\mu.)
  • Portanto, se o enunciado diz que a média é \frac{1}{\lambda}, a taxa é \mu=\lambda. Se a média é \frac{1}{2\lambda}, a taxa é \mu=2\lambda.

Passo 3

Traduzindo o evento pedido em matemática:
  • “Pelo menos uma queimar nas primeiras 4 horas” é o evento união \{X_1\le4\}\cup\{X_2\le4\}, onde X_1 é o tempo da primeira lâmpada e X_2 o da segunda.
  • Uma forma prática de calcular essa probabilidade é usar o complemento: P\bigl(\text{pelo menos uma queima em }4\text{ h}\bigr)=1-P\bigl(\text{nenhuma queima em }4\text{ h}\bigr).
  • “Nenhuma queima em 4 h” significa X_1>4 e X_2>4 simultaneamente, isto é \{X_1>4,\,X_2>4\}.

Passo 4

Usando independência e as funções de sobrevivência:
  • Como X_1 e X_2 são independentes, P(X_1>4,\,X_2>4)=P(X_1>4)\,P(X_2>4).
  • Pela propriedade da exponencial, com taxas identificadas no Passo 2: P(X_1>4)=e^{-\lambda\cdot 4}=e^{-4\lambda},
P(X_2>4)=e^{-(2\lambda)\cdot 4}=e^{-8\lambda}.
  • Multiplicando: P(X_1>4,\,X_2>4)=e^{-4\lambda}\cdot e^{-8\lambda}=e^{-12\lambda}.

Passo 5

Conclusão final do cálculo:
  • Usando o complemento do Passo 3, P(\text{pelo menos uma queima em }4\text{ h})=1-P(X_1>4,\,X_2>4)=1-e^{-12\lambda}.
  • Conferindo com as alternativas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 1-e^{-12\lambda}

Exercícios relacionados