Oito programas foram monitorados para estudar a demanda por recursos. Neste trabalho, a variável resposta (dependente) é o tempo de CPU, e a variável independente é o número de acessos ao disco (disk I/O). Os dados obtidos foram:
X 14 15 23 31 38 40 53 51
Y 2.0 4.6 5.7 7.3 9.8 10.9 12.6 13.2
Os valores de \hat{Y} foram obtidos a partir da reta de regressão dada por, \hat{Y}_{i}=-0.38114+ 0.26104 X_{i}.
(a) (1,5) Obtenha as estimativas do parâmetro \sigma^{2}
(b) (0.5) Defina o teste de hipótese para investigar a contribuição da variável X para explicar a variação resposta Y.
(c) (1.0) Assumindo \alpha=5 \%, Qual a decisão sobre o teste?
(d) (1.0) Obtenha os valor preditos de tempo de CPU quando os números de acessos são iguais à 25, 50 e 100.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de regressão linear simples, em que a variável dependente é o tempo de CPU Y e a variável independente é o número de acessos ao disco X. A reta ajustada é
\hat{Y}_i = -0.38114 + 0.26104\,X_i.
Precisamos:
  • (a) estimar o parâmetro \sigma^2 da variância dos erros;
  • (b) formular o teste de hipótese para verificar se X contribui significativamente para explicar Y;
  • (c) tomar a decisão ao nível \alpha=5\%;
  • (d) calcular \hat{Y} para X=25, 50 e 100.

Passo 2

Para estimar \sigma^2 primeiro calculamos a soma dos quadrados dos resíduos
\mathrm{SSE} \;=\;\sum_{i=1}^{8} (Y_i - \hat{Y}_i)^2.
Substituindo cada X_i e Y_i na reta ajustada obtemos aproximadamente \mathrm{SSE}\approx 4{,}5079.
Como o número de observações é n=8, os graus de liberdade são n-2=6. Portanto a estimativa de \sigma^2 é
\hat{\sigma}^2 = \frac{\mathrm{SSE}}{n-2} = \frac{4{,}5079}{6} \approx 0{,}7513.

Passo 3

Para testar a contribuição de X definimos
H_0: \beta_1 = 0 \quad\text{versus}\quad H_1: \beta_1 \neq 0,
onde \beta_1 é o coeficiente angular verdadeiro. O estatístico de teste é
t = \frac{b_1}{\mathrm{SE}(b_1)},
com b_1=0{,}26104 e
\mathrm{SE}(b_1) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{\sum (X_i - \bar X)^2}}.

Passo 4

Calculamos \bar X = 33{,}125 e \sum (X_i - \bar X)^2 \approx 1586{,}93.
Assim
\mathrm{SE}(b_1) = \frac{\sqrt{0{,}7513}}{\sqrt{1586{,}93}} \approx 0{,}02177,
t = \frac{0{,}26104}{0{,}02177} \approx 11{,}99.
Com 6 graus de liberdade, o valor crítico bilateral a 5\% é t_{0{,}975,6}\approx 2{,}447. Como \lvert t\rvert =11{,}99 >2{,}447, rejeitamos H_0.

Passo 5

Para obter as predições basta usar a reta:
\hat{Y}(25) = -0.38114 + 0.26104\cdot 25 \approx 6{,}1449,
\hat{Y}(50) = -0.38114 + 0.26104\cdot 50 \approx 12{,}6709,
\hat{Y}(100) = -0.38114 + 0.26104\cdot100 \approx 25{,}7229.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\sigma}^2\approx 0{,}7513.
(b) H_0\colon \beta_1=0 versus H_1\colon \beta_1\neq 0.
(c) Como \lvert t\rvert=11{,}99>2{,}447, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
(d) \hat{Y}(25)\approx 6{,}145,\;\hat{Y}(50)\approx 12{,}671,\;\hat{Y}(100)\approx 25{,}723.

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