ok 10. Calcule a integral iterada:
\int_{-1}^{0} \int_{e}^{2 e} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} y(\ln z)(\tan x) d x d z d y.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
\int_{y=-1}^{0}\int_{z=e}^{2e}\int_{x=0}^{\pi/3}y\bigl(\ln z\bigr)\bigl(\tan x\bigr)\,dx\,dz\,dy.
Como o integrando é um produto de funções que dependem de variáveis diferentes e os limites são constantes, dá para separar a integral em três integrais simples e depois multiplicar os resultados.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em x:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|\Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\ln\!\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)+\ln\!\bigl(\cos0\bigr) = -\ln\!\tfrac12 + \ln1 = \ln2.

Passo 3

Agora integramos em z:
\int_{e}^{2e}\ln z\,dz =\bigl[z\ln z - z\bigr]_{e}^{2e} =(2e\ln(2e)-2e)-(e\ln e - e) =2e(\ln2+1)-2e - (e - e) =2e\ln2.

Passo 4

Em seguida, integramos em y:
\int_{-1}^{0}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =0 - \tfrac{1}{2} =-\tfrac12.

Passo 5

Como as integrais são independentes, o valor final é o produto dos três resultados:
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\times\bigl(2e\ln2\bigr)\times\bigl(\ln2\bigr) =-e\,(\ln2)^2.

Resposta

-e(\ln2)^2.

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