Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=-x^{3}+5 x^{2}-6 x

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x) = -x^{3} + 5x^{2} - 6x,
sua classificação em máximo ou mínimo local e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas para achar pontos críticos e a segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Derivando termo a termo,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+5x^{2}-6x\bigr)=-3x^{2}+10x-6.

Passo 3

Resolvemos f'(x)=0:
-3x^{2}+10x-6=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^{2}-10x+6=0.
O discriminante é
\Delta = 10^{2}-4\cdot3\cdot6 = 100-72 = 28,
portanto
x = \frac{10\pm\sqrt{28}}{6} = \frac{10\pm2\sqrt{7}}{6} = \frac{5\pm\sqrt{7}}{3}.

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^{2}+10x-6) = -6x+10.
Em x_{1}=(5-\sqrt{7})/3:
f''(x_{1})=-6\frac{5-\sqrt{7}}{3}+10 =-2(5-\sqrt{7})+10 =2\sqrt{7}>0
logo ponto de mínimo local.
Em x_{2}=(5+\sqrt{7})/3:
f''(x_{2})=-2(5+\sqrt{7})+10 =-2\sqrt{7}<0
logo ponto de máximo local.

Passo 5

As coordenadas exatas dos pontos críticos são
\Bigl(x_{1},\,f(x_{1})\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(x_{2},\,f(x_{2})\Bigr),
com
x_{1}=\frac{5-\sqrt{7}}{3},\quad x_{2}=\frac{5+\sqrt{7}}{3},
e
f(x_{i}) =-\Bigl(\tfrac{5\pm\sqrt{7}}{3}\Bigr)^{3} +5\Bigl(\tfrac{5\pm\sqrt{7}}{3}\Bigr)^{2} -6\Bigl(\tfrac{5\pm\sqrt{7}}{3}\Bigr).
Numericamente \sqrt{7}\approx2,6458
x_{1}\approx0,7847,\;f(x_{1})\approx-2,11, \quad x_{2}\approx2,5486,\;f(x_{2})\approx0,64.

Passo 6

Como o termo dominante é -x^{3}, ao ir para a esquerda f(x)\to+\infty e para a direita f(x)\to-\infty. Os zeros de f são x=0,2,3. O esboço então desce de +\infty em x\to-\infty, cruza (0,0), atinge mínimo em (0,78,-2,11), sobe cruzando (2,0), alcança máximo em (2,55,0,64), desce cruzando (3,0) e vai para -\infty.

Resposta

\Bigl(\tfrac{5-\sqrt{7}}{3},\,f\bigl(\tfrac{5-\sqrt{7}}{3}\bigr)\Bigr) \quad\text{é mínimo local},éí
\Bigl(\tfrac{5+\sqrt{7}}{3},\,f\bigl(\tfrac{5+\sqrt{7}}{3}\bigr)\Bigr) \quad\text{é máximo local}.éá

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