Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+2 y-z,-2 x-3 y+z, 2 x+2 y-2 z)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável. Vamos precisar encontrar a matriz de T na base canônica, calcular seu polinômio característico, os autovalores com suas multiplicidades algébricas e geométricas, e então comparar para decidir a diagonalizabilidade.
Portanto os autovalores são \lambda=-1 (algébrica 2) e \lambda=-2 (algébrica 1).
Passo 4
Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0 e obtemos dimensão do autoespaço igual a 1.
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0 e obtemos dimensão do autoespaço igual a 2.
Passo 5
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3, existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Logo T é diagonalizável.