Questão 0.4. Verifique se os operadores lineares abaixo são diagonalizáveis:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+2 y-z,-2 x-3 y+z, 2 x+2 y-2 z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(x+2y-z,\,-2x-3y+z,\,2x+2y-2z)
é diagonalizável. Vamos precisar encontrar a matriz de T na base canônica, calcular seu polinômio característico, os autovalores com suas multiplicidades algébricas e geométricas, e então comparar para decidir a diagonalizabilidade.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,-2,2),\quad T(e_2)=(2,-3,2),\quad T(e_3)=(-1,1,-2).
Logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -2 & -3 & 1\\\\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -1\\\\ -2 & -3-\lambda & 1\\\\ 2 & 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} =-(\lambda^3+4\lambda^2+5\lambda+2).
Fatorando
\lambda^3+4\lambda^2+5\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda^2+3\lambda+2) =(\lambda+1)^2(\lambda+2).
Portanto os autovalores são \lambda=-1 (algébrica 2) e \lambda=-2 (algébrica 1).

Passo 4

Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0 e obtemos dimensão do autoespaço igual a 1.
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0 e obtemos dimensão do autoespaço igual a 2.

Passo 5

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3, existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Logo T é diagonalizável.

Resposta

Sim, T é diagonalizável.

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