Uma tubulação horizontal de PVC (rugosidade \varepsilon=0,0015 \mathrm{~mm} ) com comprimento de 120 m e diâmetro de 50 mm transporta água de um grande reservatório aberto, descarregando para a atmosfera. A entrada do tubo é de borda bem arredondada ( K=0,04 ) e no trecho existem 2 curvas de 90^{\circ} de raio longo ( K=0,3 cada) e 1 válvula globo totalmente aberta ( K=6,0 ).
Determine a altura H de água, acima do centro do tubo na saída, que deve ser mantida no reservatório para que a vazão seja de 3,0 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Considerando a água a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que a questão pede e o que sabemos):
\begin{aligned} &\text{Tubulação horizontal de PVC, comprimento }L=120\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro }D=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{rugosidade } \varepsilon=0,0015\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{queda livre do reservatório para a saída (ambas à pressão atmosférica).}\\\ &\text{Perdas localizadas: entrada arredondada }K_{\text{entrada}}=0{,}04,\\\ &\qquad 2\\ \text{curvas de }90^\circ\text{ com }K_{\text{curva}}=0{,}3\\ \text{cada},\\\ &\qquad 1\\ \text{válvula globo totalmente aberta }K_{\text{válvula}}=6{,}0.\\\ &\text{Vazão desejada }Q=3{,}0\\ \mathrm{L/s}=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}.\\\ &\text{Água a }20^\circ\mathrm{C}\\ (\rho\approx998\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \nu\approx1{,}003\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}).\\\ &\text{Pergunta: determinar a altura }H\text{ do nível do reservatório acima do centro do tubo na saída}\\\ &\qquad\text{para que }Q=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}çãâóíàãéááãÁíóí

Passo 2

Plano de solução / princípio físico usado (explicação didática):
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o centro da seção de saída (ambas à pressão atmosférica). Como o reservatório é “grande”, a velocidade na superfície do reservatório é desprezível. A equação reduzida dá:
H = \frac{V^2}{2g} + h_f + h_m,
onde:
  • \,H é a altura do nível do reservatório acima do centro do tubo na saída (o que queremos);
  • \,V é a velocidade média no tubo (m/s);
  • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
  • \,h_f é a perda de carga por atrito ao longo do comprimento do tubo;
  • \,h_m é a soma das perdas localizadas (entradas, curvas, válvulas, etc.).
    As perdas por atrito são dadas por
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde \,f é o fator de atrito de Darcy–Weisbach. As perdas localizadas são
h_m = \Big(\sum K\Big)\cdot\frac{V^2}{2g},
onde cada K é o coeficiente de perda localizada (fornecido no enunciado). Para obter f usaremos uma fórmula explícita aproximada (Swamee–Jain), adequada para escoamentos turbulentos:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2},
com \mathrm{Re}=\dfrac{VD}{\nu}. Vou calcular passo a passo: área, velocidade, Re, f, h_f, h_m e finalmente H.

Passo 3

Cálculo da área da seção e da velocidade média \,V:
Área circular
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0,05)^2}{4}=0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}003}{0{,}0019635}=1{,}5281\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a velocidade média é simplesmente vazão dividida pela área. Aqui converti 50\\ \mathrm{mm} para 0,05\\ \mathrm{m} e 3{,}0\\ \mathrm{L/s} para 0{,}003\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e verificação do regime de escoamento:
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}=\frac{1{,}5281\cdot 0{,}05}{1{,}003\times10^{-6}}=7{,}616\times10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx7{,}62\cdot10^{4} (maior que 4000), logo o escoamento é turbulento. Para escoamento turbulento devemos usar uma expressão adequada para o fator de atrito que leve em conta a rugosidade relativa \varepsilon/D.

Passo 5

Cálculo do fator de atrito f (Swamee–Jain) — explicando a fórmula:
A fórmula de Swamee–Jain é uma forma explícita (aproximada, mas boa) para cálculo de f quando o escoamento é turbulento:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Aqui \varepsilon/D é a rugosidade relativa. Calculando os termos:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}05}=3{,}0\times10^{-5}.
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx(7{,}616\times10^{4})^{0{,}9}\approx2{,}464\times10^{4}.
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=8{,}11\times10^{-6},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=2{,}33\times10^{-4}.
Somando e aplicando a fórmula:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(8{,}11\times10^{-6}+2{,}33\times10^{-4}\right)\right]^{-2} \approx0{,}0191.
Comentário: esse valor de f é razoável para tubos lisos/semirrugosos em escoamento turbulento; é consistente com aproximações alternativas (p.ex. Blasius) nessa faixa de Re.

Passo 6

Cálculo da cabeça de velocidade \dfrac{V^2}{2g} e da perda por atrito h_f:
Primeiro a cabeça de velocidade:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(1{,}5281)^2}{2\cdot 9{,}81}=0{,}1190\\ \mathrm{m}.
Agora L/D e h_f:
\frac{L}{D}=\frac{120}{0{,}05}=2400.
h_f=f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g}=0{,}0191\cdot 2400\cdot 0{,}1190=5{,}456\\ \mathrm{m}.
Explicação: h_f cresce com L/D; tubos longos e diâmetros pequenos resultam em perdas maiores.

Passo 7

Cálculo das perdas localizadas h_m:
Somamos os coeficientes K fornecidos:
\sum K = K_{\text{entrada}} + 2K_{\text{curva}} + K_{\text{válvula}}=0{,}04 + 2\cdot0{,}3 + 6{,}0 = 6{,}64.á
Então
h_m=\Big(\sum K\Big)\cdot\frac{V^2}{2g}=6{,}64\cdot0{,}1190=0{,}791\\ \mathrm{m}.
Comentário: a válvula globo domina as perdas localizadas (valor alto K=6{,}0).

Passo 8

Cálculo final da altura H:
Aplicando a fórmula do Passo 2:
H=\frac{V^2}{2g} + h_f + h_m = 0{,}1190 + 5{,}456 + 0{,}791 = 6{,}366\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais (suficiente para problemas de projeto em prova):
H \approx 6{,}37\\ \mathrm{m}.
Interpretação final breve e incentivo: portanto, para obter 3{,}0\\ \mathrm{L/s} é necessário manter o nível do reservatório cerca de 6{,}37\\ \mathrm{m} acima do centro do tubo de saída. Você está indo bem — atenção às unidades e à inclusão da cabeça de velocidade quando usar Bernoulli em problemas desse tipo!

Resposta

H\approx 6{,}37\\ \mathrm{m}

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