Uma tubulação horizontal de PVC (rugosidade
) com comprimento de 120 m e diâmetro de 50 mm transporta água de um grande reservatório aberto, descarregando para a atmosfera. A entrada do tubo é de borda bem arredondada (
) e no trecho existem 2 curvas de
de raio longo (
cada) e 1 válvula globo totalmente aberta (
).
Determine a altura H de água, acima do centro do tubo na saída, que deve ser mantida no reservatório para que a vazão seja de
. Considerando a água a
.
Determine a altura H de água, acima do centro do tubo na saída, que deve ser mantida no reservatório para que a vazão seja de
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (o que a questão pede e o que sabemos):
Passo 2
Plano de solução / princípio físico usado (explicação didática):
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o centro da seção de saída (ambas à pressão atmosférica). Como o reservatório é “grande”, a velocidade na superfície do reservatório é desprezível. A equação reduzida dá:
Vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o centro da seção de saída (ambas à pressão atmosférica). Como o reservatório é “grande”, a velocidade na superfície do reservatório é desprezível. A equação reduzida dá:
onde:
-
é a altura do nível do reservatório acima do centro do tubo na saída (o que queremos); -
é a velocidade média no tubo (m/s); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a perda de carga por atrito ao longo do comprimento do tubo; -
é a soma das perdas localizadas (entradas, curvas, válvulas, etc.).
As perdas por atrito são dadas por
onde
é o fator de atrito de Darcy–Weisbach. As perdas localizadas são
onde cada
é o coeficiente de perda localizada (fornecido no enunciado). Para obter
usaremos uma fórmula explícita aproximada (Swamee–Jain), adequada para escoamentos turbulentos:
com
. Vou calcular passo a passo: área, velocidade, Re,
,
,
e finalmente
.
Passo 3
Cálculo da área da seção e da velocidade média
:
Área circular
Área circular
Velocidade média
Explicação rápida: a velocidade média é simplesmente vazão dividida pela área. Aqui converti
para
e
para
.
Passo 4
Cálculo do número de Reynolds e verificação do regime de escoamento:
Interpretação:
(maior que
), logo o escoamento é turbulento. Para escoamento turbulento devemos usar uma expressão adequada para o fator de atrito que leve em conta a rugosidade relativa
.
Passo 5
Cálculo do fator de atrito
(Swamee–Jain) — explicando a fórmula:
A fórmula de Swamee–Jain é uma forma explícita (aproximada, mas boa) para cálculo de quando o escoamento é turbulento:
A fórmula de Swamee–Jain é uma forma explícita (aproximada, mas boa) para cálculo de
Aqui
é a rugosidade relativa. Calculando os termos:
Somando e aplicando a fórmula:
Comentário: esse valor de
é razoável para tubos lisos/semirrugosos em escoamento turbulento; é consistente com aproximações alternativas (p.ex. Blasius) nessa faixa de Re.
Passo 6
Cálculo da cabeça de velocidade
e da perda por atrito
:
Primeiro a cabeça de velocidade:
Primeiro a cabeça de velocidade:
Agora
e
:
Explicação:
cresce com
; tubos longos e diâmetros pequenos resultam em perdas maiores.
Passo 7
Cálculo das perdas localizadas
:
Somamos os coeficientes fornecidos:
Somamos os coeficientes
Então
Comentário: a válvula globo domina as perdas localizadas (valor alto
).
Passo 8
Cálculo final da altura
:
Aplicando a fórmula do Passo 2:
Aplicando a fórmula do Passo 2:
Arredondando para duas casas decimais (suficiente para problemas de projeto em prova):
Interpretação final breve e incentivo: portanto, para obter
é necessário manter o nível do reservatório cerca de
acima do centro do tubo de saída. Você está indo bem — atenção às unidades e à inclusão da cabeça de velocidade quando usar Bernoulli em problemas desse tipo!