Óleo a 20^{\circ} C\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}\right) escoa estacionariamente através de um tubo de 8 cm de diâmetro e 53 m de comprimento. A pressão na entrada e saída do tubo é medida como 894 kPa e 88 kPa , respectivamente. O tubo tem uma inclinação \theta=-23^{\circ}.
Determine a vazão do óleo através do tubo supondo que o escoamento é laminar.
diâmetro do tubo: D=8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
comprimento do tubo: L=53\\ \mathrm{m}.
pressão na entrada: p_1=894\\ \mathrm{kPa}=894000\\ \mathrm{Pa}.
pressão na saída: p_2=88\\ \mathrm{kPa}=88000\\ \mathrm{Pa}.
inclinação: \theta=-23^\circ (ângulo do trecho do ponto 1 para o ponto 2).
aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O enunciado pede:
A vazão volumétrica Q supondo escoamento laminar.
A velocidade média \overline{V} (m/s).
O número de Reynolds \mathrm{Re}.
Se a hipótese de escoamento laminar é confirmada (Verdadeiro/Falso).
A potência de bombeamento necessária para superar essa queda de pressão (kW).
Passo 2
Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo).
Equação de energia simplificada entre as seções 1 e 2, para escoamento estacionário incompressível (cancelando termos cinéticos por serem iguais nas seções):
p_1 + \rho g z_1 = p_2 + \rho g z_2 + \rho h_f,
onde h_f é a perda de carga por atrito (em unidades de energia por massa, m2/s2). Rearranjando:
p_1 - p_2 = \rho g (z_2 - z_1) + \rho h_f.
Aqui z_2-z_1 é a variação de cota do fluido do ponto 1 ao ponto 2. Como o tubo tem comprimento L e inclinação \theta, vale
\Delta z \equiv z_2 - z_1 = L\sin\theta.
Perda de carga pelo atrito usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\overline{V}^2}{2},
onde f é o fator de atrito de Darcy e \overline{V} é a velocidade média. Para escoamento laminar em tubo circular:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}}, \qquad \mathrm{Re} = \frac{\rho \overline{V} D}{\mu}.
Substituindo f na expressão de h_f e multiplicando por \rho (para trabalhar em Pa, como as pressões):
Como \mathrm{Re}=\dfrac{\rho \overline{V} D}{\mu}, substituindo e simplificando obtemos uma expressão linear em \overline{V}:
\rho h_f = 32\,\mu\,\frac{L}{D^2}\,\overline{V}.
Explicação rápida dessa simplificação: ao inserir \mathrm{Re} no denominador o \rho e um fator \overline{V} se cancelam, convertendo o termo quadrático em um termo linear em \overline{V} — isso é característico do regime laminar em tubos (queda de pressão proporcional à velocidade).
Portanto a equação de balanço fica:
p_1 - p_2 = \rho g \Delta z + 32\,\mu\,\frac{L}{D^2}\,\overline{V}.
Isolando \overline{V}:
\overline{V} = \frac{p_1 - p_2 - \rho g \Delta z}{32\,\mu}\,\frac{D^2}{L}.
Passo 3
Cálculo numérico passo a passo para \Delta z e o termo gravitacional.
Calcular \Delta z:
\Delta z = L\sin\theta = 53\cdot\sin(-23^\circ).
Como \sin(-23^\circ)=-\sin(23^\circ) e \sin(23^\circ)\approx0{,}390731,
\Delta z \approx 53\cdot(-0{,}390731)= -20{,}693\\ \mathrm{m}.
Calcular \rho g \Delta z:
\rho g \Delta z = 888\cdot 9{,}81 \cdot (-20{,}693)\approx -180261{,}2\\ \mathrm{Pa}.
(ou seja, o termo gravitacional reduz a diferença de pressão necessária porque o tubo desce no sentido do fluxo quando \Delta z<0.)
Passo 4
Cálculo da velocidade média \overline{V} usando a fórmula obtida.
Diferença de pressão:
p_1-p_2 = 894000 - 88000 = 806000\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo na fórmula
\overline{V} = \frac{p_1 - p_2 - \rho g \Delta z}{32\,\mu}\,\frac{D^2}{L}.
Calcule o numerador:
p_1-p_2 - \rho g \Delta z = 806000 - (-180261{,}2) = 986261{,}2\\ \mathrm{Pa}.
Critério: escoamento em tubos é considerado laminar se \mathrm{Re}\lesssim 2300. Aqui \mathrm{Re}\approx 415\ll 2300, logo a hipótese de escoamento laminar está confirmada.
Passo 7
Cálculo da potência de bombeamento necessária.
A potência hidráulica necessária para vencer a queda de pressão é dada por:
P = (p_1 - p_2)\,Q.
Substituindo p_1-p_2=806000\\ \mathrm{Pa} e Q=0{,}02339\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
P \approx 806000\cdot 0{,}02339 \approx 18852{,}34\\ \mathrm{W} = 18{,}85234\\ \mathrm{kW}.
Observação: essa potência é a potência hidráulica (pressão × vazão) que o bombeamento precisa fornecer; perdas adicionais (eficiências, bombas, etc.) não estão incluídas.