Óleo a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\mu=0,800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot s\right) escoa estacionariamente através de um tubo de 4 cm de diâmetro e 58 m de comprimento. A pressão na entrada e saída do tubo é medida como 991 kPa e 98 kPa , respectivamente. O tubo tem uma inclinação \theta=8^{\circ}.
Determine a vazão do óleo através do tubo supondo que o escoamento é laminar.
Resposta: □
Escolher...
Escolher...
\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}
\mathrm{L} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a vazão do óleo (vazão volumétrica Q) no tubo, supondo fluxo laminar. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D=0,04\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=58\\ \mathrm{m}.
  • Pressão de entrada: p_1=991\\ \mathrm{kPa}=991\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão de saída: p_2=98\\ \mathrm{kPa}=98\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Inclinação do tubo: \theta=8^\circ.
  • Densidade do óleo: \rho=888\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • viscosidade dinâmica: \mu=0{,}800\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).
    O que se pede: determinar Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e, se desejar, em \mathrm{L}/\mathrm{s}), assumindo escoamento laminar.

Passo 2

Ideia física e equações-chave (explicando cada termo):
  • A diferença de pressão total disponível \Delta p = p_1-p_2 é usada para vencer (i) a componente peso do fluido ao subir a inclinação e (ii) as perdas por atrito ao longo do comprimento do tubo. Em regime permanente e desprezando variações de velocidade e efeitos de aceleração, escreve-se:
\Delta p = \rho g L \sin\theta + \text{perda por atrito (por unidade de área)}.á
  • Para escoamento laminar em tubo circular, a relação clássica de Hagen–Poiseuille dá uma relação linear entre gradiente de pressão e velocidade média. Uma forma útil (obtida a partir de f=64/\mathrm{Re} ou diretamente de Poiseuille) é:
\frac{\Delta p}{L} = \rho g \sin\theta + \frac{32\,\mu\,\bar{v}}{D^2},
onde \bar{v} é a velocidade média do fluido ao longo da seção (ou seja \bar{v}=Q/A).
Explicando variáveis:
  • \Delta p=p_1-p_2 é a queda de pressão total.
  • g é aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2).
  • \mu é a viscosidade dinâmica.
  • D é o diâmetro do tubo.
  • L é o comprimento do tubo.
    Essa expressão aparece porque, para fluxo laminar totalmente desenvolvido num tubo circular, o gradiente de pressão necessário é proporcional à velocidade média e à viscosidade (contraste com o regime turbulento, onde a perda é proporcional a \bar{v}^2).

Passo 3

Isolando \bar{v} a partir da equação anterior:
\Delta p = \rho g L \sin\theta + \frac{32\,\mu\,L\,\bar{v}}{D^2}
\Rightarrow \frac{32\,\mu\,L\,\bar{v}}{D^2} = \Delta p - \rho g L \sin\theta
\Rightarrow \bar{v} = \frac{D^2}{32\,\mu\,L}\left(\Delta p - \rho g L \sin\theta\right).
Uma alternativa equivalente é usar diretamente a forma de Hagen–Poiseuille para vazão:
Q=\frac{\pi D^4}{128\,\mu\,L}\left(\Delta p - \rho g L \sin\theta\right),
que dá o mesmo resultado porque Q=A\bar{v}=(\pi D^2/4)\bar{v}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente passo a passo.
  1. Queda de pressão:
\Delta p = p_1-p_2 = 991\,000 - 98\,000 = 893\,000\\ \mathrm{Pa}.
  1. Componente hidroestática (subida ao longo do tubo):
\sin\theta=\sin(8^\circ)\approx 0{,}13917,
L\sin\theta = 58\cdot 0{,}13917 \approx 8{,}07\\ \mathrm{m},
\rho g L \sin\theta = 888\cdot 9{,}81\cdot 8{,}07 \approx 70\,325\\ \mathrm{Pa}.
  1. Diferença útil para vencer atrito:
\Delta p - \rho g L \sin\theta \approx 893\,000 - 70\,325 = 822\,675\\ \mathrm{Pa}.
  1. Coeficiente multiplicador:
D^2 = (0{,}04)^2 = 0{,}0016\\ \mathrm{m}^2,
32\,\mu\,L = 32\cdot 0{,}800\cdot 58 = 1\,484{,}8\\ \mathrm{(unidades)}.
\frac{D^2}{32\,\mu\,L}=\frac{0{,}0016}{1\,484{,}8}\approx 1{,}077\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\\ (\text{fator numérico}).é
  1. Velocidade média:
\bar{v} \approx 1{,}077\times10^{-6}\cdot 822\,675 \approx 0{,}887\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  1. Área da seção e vazão:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}0016}{4}=\pi\cdot 0{,}0004\approx 0{,}0012566\\ \mathrm{m}^2,
Q=\bar{v}\,A \approx 0{,}887\cdot 0{,}0012566 \approx 0{,}001115\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Verificação da hipótese de escoamento laminar (critério de Reynolds):
\mathrm{Re}=\frac{\rho \bar{v} D}{\mu}=\frac{888\cdot 0{,}887\cdot 0{,}04}{0{,}800}\approx 39{,}3.
Como \mathrm{Re}\approx 39 \ll 2\,000, o escoamento é de fato laminar e o uso de Hagen–Poiseuille é consistente.

Passo 6

Resultado final e conversão para \mathrm{L}/\mathrm{s} (lembrando que 1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}=1\,000\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}):
Q\approx 0{,}001115\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx 1{,}115\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.

Resposta

1{,}115\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
1{,}115\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados