Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude ( z ) sendo que: Compare os resultados das expressões obtidas quando a altitude é de 0.2 km , 5 km e 11 km . Considere T_{0}= 15^{\circ} \mathrm{C} e B=0.003566 \mathrm{~K} / \mathrm{m}, R_{a r}=287,05 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}) e p_{a t m}=101325 \mathrm{~Pa}.
a temperatura do ar varia linearmente com a altitude: T=T_{0}-B z, onde B é a sua taxa de variação de tempertura.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • O que se pede: encontrar a relação entre a pressão atmosférica p e a altitude z quando a temperatura varia linearmente com a altitude segundo \,T=T_{0}-B z.\n Em seguida, comparar os valores de pressão obtidos para as altitudes \,z=0{,}2\\ \text{km}, \,z=5\\ \text{km} e \,z=11\\ \text{km}.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura ao nível do mar: T_{0}=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
    • gradiente de temperatura: B=0{,}003566\\ \mathrm{K/m}.
    • constante dos gases para o ar: R_{\text{ar}}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
    • pressão ao nível do mar: p_{\text{atm}}=101325\\ \mathrm{Pa} (usada como p(0)).
    • fórmula da variação linear da temperatura: T(z)=T_{0}-B z.
    • vou usar a gravidade padrão: g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Princípio físico que liga pressão e altitude: equilíbrio hidrostático.
  • Em equilíbrio hidrostático, a variação vertical da pressão obedece
\frac{dp}{dz} = -\rho(z)\, g,
onde \,p(z) é a pressão, \,\rho(z) é a densidade do ar no nível z e \,g é a aceleração da gravidade.
  • Explicando as variáveis:
    • \,p(z) é a pressão a altitude z (em Pa).
    • \,\rho(z) é a massa de ar por volume a altitude z (em kg/m³).
    • \,g é a constante gravitacional local (em m/s²).

Passo 3

Relacione densidade \rho com pressão usando a lei dos gases ideais.
  • Para um gás ideal temos
p = \rho R_{\text{ar}} T,
onde \,R_{\text{ar}} é a constante específica do ar e \,T é a temperatura absoluta em K.
  • Isolando \rho:
\rho = \frac{p}{R_{\text{ar}} T}.

Passo 4

Substituir \rho na equação de equilíbrio hidrostático para obter uma equação diferencial só em p e z.
  • Substituindo \rho em \dfrac{dp}{dz} = -\rho g
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R_{\text{ar}} T(z)}\,g.
  • Reescrevendo:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{\text{ar}}}\,\frac{dz}{T(z)}.

Passo 5

Inserir a variação linear da temperatura \,T(z)=T_{0}-B z e separar variáveis para integrar.
  • Substituindo:
\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{\text{ar}}}\,\frac{dz}{T_{0}-B z}.
  • Vamos integrar dos valores de referência p(0)=p_{0}=p_{\text{atm}} até p(z) e de z=0 até z:
\int_{p_{0}}^{p(z)}\frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{R_{\text{ar}}}\int_{0}^{z}\frac{1}{T_{0}-B z'}\,dz'.

Passo 6

Calcular a integral do lado direito (troca de variável) e obter a expressão fechada para p(z).
  • Usar a substituição u=T_{0}-B z', então du=-B\,dz'. Assim
\int_{0}^{z}\frac{dz'}{T_{0}-B z'} = -\frac{1}{B}\int_{T_{0}}^{T_{0}-B z}\frac{du}{u} = -\frac{1}{B}\left[\ln(u)\right]_{T_{0}}^{T_{0}-B z} = -\frac{1}{B}\ln\!\left(\frac{T_{0}-B z}{T_{0}}\right).
  • Substituindo na equação integrada:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{0}}\right) = -\frac{g}{R_{\text{ar}}}\left(-\frac{1}{B}\ln\!\left(\frac{T_{0}-B z}{T_{0}}\right)\right).
  • Simplificando os sinais:
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{0}}\right) = \frac{g}{R_{\text{ar}} B}\,\ln\!\left(\frac{T_{0}-B z}{T_{0}}\right).

Passo 7

Passar do logaritmo para a forma exponencial: expressão final para p(z).
  • Exponenciando ambos os lados obtemos
\frac{p(z)}{p_{0}} = \left(\frac{T_{0}-B z}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R_{\text{ar}} B}}.
  • Portanto a relação pedida é
\boxed{\,p(z)=p_{0}\left(1-\frac{B z}{T_{0}}\right)^{\frac{g}{R_{\text{ar}} B}}\,},
com p_{0}=p_{\text{atm}} e T_{0} em kelvin.

Passo 8

Preparar os valores numéricos (constantes) e calcular o expoente \,n=\dfrac{g}{R_{\text{ar}} B}.
  • Dados numéricos usados:
    • T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
    • B=0{,}003566\\ \mathrm{K/m}.
    • R_{\text{ar}}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
    • g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • p_{0}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular R_{\text{ar}}B:
R_{\text{ar}}B = 287{,}05\times 0{,}003566 \approx 1{,}0236203\\ (\mathrm{units\\ } \mathrm{J/(kg\,m)}).
  • Então
n=\frac{g}{R_{\text{ar}}B} \approx \frac{9{,}80665}{1{,}0236203}\approx 9{,}581.

Passo 9

Calcular p(z) para \,z=0{,}2\\ \text{km}=200\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro temperatura a essa altitude:
B z = 0{,}003566\times 200 = 0{,}7132\\ \mathrm{K}, \qquad T(200)=288{,}15-0{,}7132=287{,}4368\\ \mathrm{K}.
  • Fração térmica:
\frac{T(200)}{T_{0}} = \frac{287{,}4368}{288{,}15}\approx 0{,}997525.
  • Aplicando a fórmula:
p(200)=101325\left(0{,}997525\right)^{9{,}581}.
  • Calculemos (usar a identidade a^{n}=e^{n\ln a}):
\ln(0{,}997525)\approx -0{,}002478, \quad n\ln a \approx 9{,}581\times(-0{,}002478)\approx -0{,}02375,
p(200)\approx 101325\,e^{-0{,}02375}\approx 101325\times 0{,}97656 \approx 98\,953\\ \mathrm{Pa}.
  • Resultado arredondado: p(0{,}2\\ \text{km})\approx 9{,}895\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈98,95 kPa).

Passo 10

Calcular p(z) para \,z=5\\ \text{km}=5000\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura:
B z = 0{,}003566\times 5000 = 17{,}83\\ \mathrm{K}, \qquad T(5000)=288{,}15-17{,}83=270{,}32\\ \mathrm{K}.
  • Fração térmica:
\frac{T(5000)}{T_{0}} = \frac{270{,}32}{288{,}15}\approx 0{,}93798.
  • Aplicando a fórmula:
p(5000)=101325\left(0{,}93798\right)^{9{,}581}.
  • Cálculo:
\ln(0{,}93798)\approx -0{,}06408, \quad n\ln a \approx 9{,}581\times(-0{,}06408)\approx -0{,}6142,
p(5000)\approx 101325\,e^{-0{,}6142}\approx 101325\times 0{,}5414 \approx 54\,884\\ \mathrm{Pa}.
  • Resultado arredondado: p(5\\ \text{km})\approx 5{,}488\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈54,88 kPa).

Passo 11

Calcular p(z) para \,z=11\\ \text{km}=11000\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura:
B z = 0{,}003566\times 11000 = 39{,}226\\ \mathrm{K}, \qquad T(11000)=288{,}15-39{,}226=248{,}924\\ \mathrm{K}.
  • Fração térmica:
\frac{T(11000)}{T_{0}} = \frac{248{,}924}{288{,}15}\approx 0{,}86388.
  • Aplicando a fórmula:
p(11000)=101325\left(0{,}86388\right)^{9{,}581}.
  • Cálculo:
\ln(0{,}86388)\approx -0{,}14662, \quad n\ln a \approx 9{,}581\times(-0{,}14662)\approx -1{,}4047,
p(11000)\approx 101325\,e^{-1{,}4047}\approx 101325\times 0{,}2456 \approx 24\,888\\ \mathrm{Pa}.
  • Resultado arredondado: p(11\\ \text{km})\approx 2{,}489\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa} (≈24,89 kPa).

Passo 12

Comparação qualitativa e porcentagens de queda de pressão (resumo rápido para entender a escala).
  • Queda relativa em relação ao nível do mar:
    • z=0{,}2\\ \text{km}: p é cerca de 97{,}7\% de p_{0} (queda ≈ 2{,}3\%).
    • z=5\\ \text{km}: p é cerca de 54{,}2\% de p_{0} (queda ≈ 45{,}8\%).
    • z=11\\ \text{km}: p é cerca de 24{,}6\% de p_{0} (queda ≈ 75{,}4\%).
  • Interpretação: a pressão diminui bastante com altitudes grandes; a fórmula com gradiente linear de temperatura dá uma queda rápida entre 0 e 11 km (região onde o modelo com gradiente constante é frequentemente usado como aproximação).

Resposta

p(0{,}2\\ \text{km})\approx 9{,}895\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
p(5\\ \text{km})\approx 5{,}488\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}
p(11\\ \text{km})\approx 2{,}489\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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