Supondo que o ar atmosférico pode ser modelado como um gás ideal, qual é a relação entre a sua pressão e altitude (
) sendo que: Compare os resultados das expressões obtidas quando a altitude é de 0.2 km , 5 km e 11 km . Considere
e
e
.
a temperatura do ar varia linearmente com a altitude:
, onde
é a sua taxa de variação de tempertura.
a temperatura do ar varia linearmente com a altitude:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
-
O que se pede: encontrar a relação entre a pressão atmosférica
e a altitude quando a temperatura varia linearmente com a altitude segundo .\n Em seguida, comparar os valores de pressão obtidos para as altitudes , e . -
Dados fornecidos:
- Temperatura ao nível do mar:
. - gradiente de temperatura:
. - constante dos gases para o ar:
. - pressão ao nível do mar:
(usada como ). - fórmula da variação linear da temperatura:
. - vou usar a gravidade padrão:
.
- Temperatura ao nível do mar:
Passo 2
Princípio físico que liga pressão e altitude: equilíbrio hidrostático.
- Em equilíbrio hidrostático, a variação vertical da pressão obedece
onde
é a pressão,
é a densidade do ar no nível
e
é a aceleração da gravidade.
- Explicando as variáveis:
-
é a pressão a altitude (em Pa). -
é a massa de ar por volume a altitude (em kg/m³). -
é a constante gravitacional local (em m/s²).
-
Passo 3
Relacione densidade
com pressão usando a lei dos gases ideais.
- Para um gás ideal temos
onde
é a constante específica do ar e
é a temperatura absoluta em K.
- Isolando
:
Passo 4
Substituir
na equação de equilíbrio hidrostático para obter uma equação diferencial só em
e
.
- Substituindo
em dá
- Reescrevendo:
Passo 5
Inserir a variação linear da temperatura
e separar variáveis para integrar.
- Substituindo:
- Vamos integrar dos valores de referência
até e de até :
Passo 6
Calcular a integral do lado direito (troca de variável) e obter a expressão fechada para
.
- Usar a substituição
, então . Assim
- Substituindo na equação integrada:
- Simplificando os sinais:
Passo 7
Passar do logaritmo para a forma exponencial: expressão final para
.
- Exponenciando ambos os lados obtemos
- Portanto a relação pedida é
com
e
em kelvin.
Passo 8
Preparar os valores numéricos (constantes) e calcular o expoente
.
-
Dados numéricos usados:
-
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Calcular
:
- Então
Passo 9
Calcular
para
.
- Primeiro temperatura a essa altitude:
- Fração térmica:
- Aplicando a fórmula:
- Calculemos (usar a identidade
):
- Resultado arredondado:
(≈98,95 kPa).
Passo 10
Calcular
para
.
- Temperatura:
- Fração térmica:
- Aplicando a fórmula:
- Cálculo:
- Resultado arredondado:
(≈54,88 kPa).
Passo 11
Calcular
para
.
- Temperatura:
- Fração térmica:
- Aplicando a fórmula:
- Cálculo:
- Resultado arredondado:
(≈24,89 kPa).
Passo 12
Comparação qualitativa e porcentagens de queda de pressão (resumo rápido para entender a escala).
-
Queda relativa em relação ao nível do mar:
-
: é cerca de de (queda ≈ ). -
: é cerca de de (queda ≈ ). -
: é cerca de de (queda ≈ ).
-
-
Interpretação: a pressão diminui bastante com altitudes grandes; a fórmula com gradiente linear de temperatura dá uma queda rápida entre 0 e 11 km (região onde o modelo com gradiente constante é frequentemente usado como aproximação).