Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
q_{g}=q_{0} \cos (a x)
onde q_{0} é o calor gerado por volume unitário no centro da parede ( \mathrm{x}=0 ) e a é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de \mathrm{T}_{\mathrm{w}}.
a) Derive uma expressão para a perda total de calor por unidade de área da superfície da parede.
b) Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na parede.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (pego do enunciado):
  • Espessura total da parede: 2L. O eixo x tem origem no centro da parede ( x=0), de modo que as superfícies estão em x=-L e x=+L.
  • Taxa volumétrica de geração de calor: q_{g}(x)=q_{0}\cos(a x),
onde q_{0} e a são constantes, e q_{0} é o valor em x=0.
  • Temperatura mantida nas duas faces: \,T(\pm L)=T_{w}.
O enunciado pede:
(a) obter uma expressão para a perda total de calor por unidade de área da superfície da parede (isto é, o calor que sai pelas faces, por unidade de área de cada face ou no total pelas duas faces);
(b) obter a distribuição de temperatura T(x) ao longo do eixo x.
Pressupostos (não fornecidos explicitamente no enunciado, mas necessários para resolver):
  • Regime estacionário (estado estacionário): temperaturas não variam no tempo.
  • Transporte unidimensional ao longo de x (variação somente com x).
  • Condutividade térmica do material é constante e igual a k.
    Vou usar essas hipóteses para modelar e resolver o problema sem pedir informação adicional.

Passo 2

Escrever a equação diferencial que relaciona condução e geração volumétrica.
Fundamento físico (explicação didática curta): num elemento fino da parede, no regime estacionário, a soma do fluxo condutivo que entra e da energia gerada volumetricamente deve ser igual ao fluxo que sai. Para condução unidimensional com condutividade constante k, a equação diferencial de equilíbrio térmico é
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+q_{g}(x)=0.
Como k é constante podemos simplificar para
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+q_{g}(x)=0.
Substituindo q_{g}(x)=q_{0}\cos(a x) obtemos a equação a resolver:
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+q_{0}\cos(a x)=0.

Passo 3

Simplificar a equação e integrar uma vez (explicando cada termo).
Dividindo por k obtemos
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\frac{q_{0}}{k}\cos(a x).
Integramos em x uma vez. Lembre que a primitiva de \cos(a x) é \frac{1}{a}\sin(a x), então
\frac{dT}{dx} = -\frac{q_{0}}{k}\cdot\frac{1}{a}\sin(a x) + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.
(Explicação didática: a constante C_{1} representa a inclinação linear da temperatura que poderia existir se não houvesse simetria ou condições adicionais.)

Passo 4

Integrar uma segunda vez para obter T(x) em termos de constantes de integração.
Integramos \frac{dT}{dx}. A primitiva de -\sin(a x) é \frac{1}{a}\cos(a x). Portanto
T(x)= -\frac{q_{0}}{k}\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}\cos(a x) + C_{1}x + C_{2}.
Organizando:
T(x)=\frac{q_{0}}{a^{2}k}\cos(a x) + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.
(Explicação didática: aqui aparece uma parte particular ligada à geração (proporcional a \cos(ax)) e uma parte geral da solução da equação homogênea ( C_{1}x+C_{2}).)

Passo 5

Usar as condições de contorno e a simetria para determinar C_{1} e C_{2}.
Observação de simetria (por que serve): a geração q_{g}(x)=q_{0}\cos(ax) é uma função par (mesma para x e -x), e as condições de contorno impõem a mesma temperatura T_{w} nas duas faces simétricas. Assim a solução T(x) deve ser função par (isto é, T(x)=T(-x)). A única maneira de a expressão \frac{q_{0}}{a^{2}k}\cos(a x) + C_{1}x + C_{2} ser par é ter C_{1}=0 (pois C_{1}x é ímpar). Podemos também obter isso diretamente aplicando T(L)=T(-L)=T_{w}:
T(L)-T(-L)=C_{1}(L-(-L))=2L C_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.
Com C_{1}=0 a solução fica
T(x)=\frac{q_{0}}{a^{2}k}\cos(a x) + C_{2}.
Impondo a condição de contorno em x=L:
T_{w}=T(L)=\frac{q_{0}}{a^{2}k}\cos(aL)+C_{2},
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C_{2}=T_{w}-\frac{q_{0}}{a^{2}k}\cos(aL).

Passo 6

Escrever a solução final para a distribuição de temperatura e comentar.
Substituindo C_{2} obtemos a expressão final:
T(x)=T_{w}+\frac{q_{0}}{a^{2}k}\big(\cos(a x)-\cos(aL)\big).
(Interpretação didática): essa fórmula mostra que a temperatura é deslocamento da temperatura das faces T_{w} por uma contribuição que vem da geração interna. Em x=L temos \cos(aL)-\cos(aL)=0 e então T(L)=T_{w} como requerido. Em x=0 (centro) a temperatura é
T(0)=T_{w}+\frac{q_{0}}{a^{2}k}\big(1-\cos(aL)\big),
que normalmente será maior que T_{w} (se q_{0}>0), mostrando o aquecimento interno.

Passo 7

Calcular o fluxo de calor na superfície e a perda total por unidade de área.
Fluxo convectivo não está presente: as faces são mantidas a T_{w} (contorno de temperatura), então o fluxo que sai pela face é o fluxo condutivo calculado pela lei de Fourier:
q''(x) = -k\frac{dT}{dx}.
Usando a derivada que já obtivemos (com C_{1}=0):
\frac{dT}{dx} = -\frac{q_{0}}{a k}\sin(a x).
Assim o fluxo para fora na face direita ( x=L) é
q''(L) = -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = -k\left(-\frac{q_{0}}{a k}\sin(aL)\right) = \frac{q_{0}}{a}\sin(aL).
Pelo mesmo raciocínio, a magnitude do fluxo saindo pela face esquerda ( x=-L) é a mesma: \dfrac{q_{0}}{a}\sin(aL) (sinais opostos se considerar direção). Portanto a perda total de calor por unidade de área, somando as duas faces, é
Q_{\text{total por unidade de área}} = 2\cdot\frac{q_{0}}{a}\sin(aL).á
Verificação alternativa (equilíbrio de energia): integrar a geração volumétrica sobre a espessura e comparar com a saída:
\int_{-L}^{L} q_{0}\cos(a x)\,dx = \frac{q_{0}}{a}\big[\sin(a x)\big]_{-L}^{L} = \frac{q_{0}}{a}\big(\sin(aL)-\sin(-aL)\big) = \frac{2q_{0}}{a}\sin(aL),
que coincide com a expressão obtida para a perda total por unidade de área — boa checagem de consistência.

Resposta

(a) \displaystyle Q_{\text{total por unidade de área}}=\frac{2q_{0}}{a}\sin(aL)á\n
(b) \displaystyle T(x)=T_{w}+\frac{q_{0}}{a^{2}k}\big(\cos(a x)-\cos(aL)\big)

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