Uma laje quadrada pesando 2,0 kN com uma área superficial lateral de 0,2 m^2 desliza para baixo em uma superficie inclinada com ângulo de 20^circ. A superficie é protegida com uma película de óleo. O óleo cria uma distância entre o bloco e a superfície inclinada de 2 times 10^-6 m. Qual é a velocidade do bloco em regime permanente? Considere um perfil de velocidade linear no óleo e que todo o óleo está em regime permanente. A viscosidade cinemática do óleo é 5 times 10^-5 m^2 / s.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma laje quadrada que pesa 2,0 kN e está deslizando por uma superfície inclinada de 20°. Entre a laje e a superfície há uma película de óleo com uma espessura de 2 times 10^-6 metros. Queremos descobrir a velocidade da laje quando ela está se movendo de maneira constante. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força gravitacional, viscosidade e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na laje. Há a força da gravidade puxando a laje para baixo ao longo da inclinação e a força viscosa do óleo que resiste a esse movimento. No regime permanente, essas duas forças se equilibram, ou seja, a força puxando a laje para baixo é igual à força de resistência do óleo.

Passo 3

Vamos calcular a componente da força gravitacional que está puxando a laje para baixo ao longo da superfície inclinada. O peso da laje é de 2,0 kN, que em Newtons é:
P = 2,0 , kN = 2000 , N
A componente paralela à inclinação é dada por:
Ppara<=la = P cdot sin(theta)
onde theta = 20^circ.

Passo 4

Calculando Ppara<=la:
Ppara<=la = 2000 , N cdot sin(20^circ) approx 2000 , N cdot 0,3420 approx 684 , N

Passo 5

Agora, vamos calcular a força viscosa do óleo que resiste ao movimento da laje. A força viscosa Fviscosa é dada por:
Fviscosa = eta cdot A cdot Vh
onde:
  • eta é a viscosidade dinâmica do óleo,
  • A é a área de contato,
  • V é a velocidade da laje,
  • h é a espessura da película de óleo.

Passo 6

A viscosidade cinemática nu é relacionada à viscosidade dinâmica eta pela relação:
nu = etarho
onde rho é a densidade do óleo. Rearranjando para encontrar eta:
eta = nu cdot rho
Assumindo que a densidade do óleo é aproximadamente 1000 , kg/m^3, temos:
eta = 5 times 10^-5 , m^2/s cdot 1000 , kg/m^3 = 0,05 , Pa cdot s

Passo 7

Sabendo que no regime permanente as forças se equilibram, temos:
Ppara<=la = Fviscosa
Substituindo os valores:
684 , N = 0,05 , Pa cdot s cdot 0,2 , m^2 cdot V2 times 10^-6 , m

Passo 8

Resolvendo para V:
V = 684 , N cdot 2 times 10^-6 , m0,05 , Pa cdot s cdot 0,2 , m^2
V = 1,368 times 10^-3 , N cdot m0,01 , Pa cdot s cdot m^2
V approx 0,1368 , m/s

Resposta

A velocidade do bloco em regime permanente é aproximadamente 0,137 , m/s.

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