Uma laje quadrada pesando
com uma área superficial lateral de
desliza para baixo em uma superficie inclinada com ângulo de
. A superficie é protegida com uma película de óleo. O óleo cria uma distância entre o bloco e a superfície inclinada de
. Qual é a velocidade do bloco em regime permanente? Considere um perfil de velocidade linear no óleo e que todo o óleo está em regime permanente. A viscosidade cinemática do óleo é
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma laje quadrada que pesa 2,0 kN e está deslizando por uma superfície inclinada de 20°. Entre a laje e a superfície há uma película de óleo com uma espessura de
metros. Queremos descobrir a velocidade da laje quando ela está se movendo de maneira constante. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de força gravitacional, viscosidade e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na laje. Há a força da gravidade puxando a laje para baixo ao longo da inclinação e a força viscosa do óleo que resiste a esse movimento. No regime permanente, essas duas forças se equilibram, ou seja, a força puxando a laje para baixo é igual à força de resistência do óleo.
Passo 3
Vamos calcular a componente da força gravitacional que está puxando a laje para baixo ao longo da superfície inclinada. O peso da laje é de 2,0 kN, que em Newtons é:
A componente paralela à inclinação é dada por:
onde
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a força viscosa do óleo que resiste ao movimento da laje. A força viscosa
é dada por:
onde:
-
é a viscosidade dinâmica do óleo, -
é a área de contato, -
é a velocidade da laje, -
é a espessura da película de óleo.
Passo 6
A viscosidade cinemática
é relacionada à viscosidade dinâmica
pela relação:
onde
é a densidade do óleo. Rearranjando para encontrar
:
Assumindo que a densidade do óleo é aproximadamente
, temos:
Passo 7
Sabendo que no regime permanente as forças se equilibram, temos:
Substituindo os valores:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade do bloco em regime permanente é aproximadamente
.