Um óleo é bombeando através de uma tubulação de 10 mm de diâmetro a um \mathrm{n}^{\circ} de Reynolds de 2100. A massa específica do óleo é de 855 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a viscosidade é de 0,021 N.s / \mathrm{m}^{2}.
a) Qual é a velocidade na tubulação?
b) Deseja-se se manter o mesmo \mathrm{n}^{\circ} de Reynolds de 2100 e a mesma velocidade determinada anteriormente para o escoamento de um outro fluido de massa específica de 925 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade de 0,015 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Qual deverá ser o novo diâmetro de tubulação utilizado?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá os seguintes dados.
  • Perguntas:
    1. Qual é a velocidade na tubulação para o óleo descrito?
    2. Mantendo o mesmo número de Reynolds e a mesma velocidade do item (1), qual deve ser o novo diâmetro para escoar outro fluido com propriedades fornecidas?
  • Dados fornecidos (peguei todos estes dados do enunciado):
    • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=2100.
    • Diâmetro da tubulação (óleo): D=10\\ \text{mm}.
    • Massa específica do óleo: \rho_1=855\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Viscosidade dinâmica do óleo: \mu_1=0,021\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
    • Para o segundo fluido: \rho_2=925\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \mu_2=0,015\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
    • Condição imposta no item (b): manter \mathrm{Re}=2100 e a mesma velocidade encontrada no item (a), determinar o novo diâmetro D_2.
Observação de conversão que vou usar: 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, então D=10\\ \text{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Revisão da fórmula e significado das variáveis (aula curta):
  • O número de Reynolds para escoamento em tubo circular é dado por
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde:
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds (adimensional);
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • V é a velocidade média do fluido na seção ( \mathrm{m/s});
  • D é o diâmetro do tubo ( \mathrm{m});
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{N\cdot s/m^{2}} ou \mathrm{Pa\cdot s}).
Intuição física rápida: \mathrm{Re} mede a razão entre forças inerciais e viscosas. Se \mathrm{Re} aumenta (mesmo D e \rho fixos), o escoamento tende a ficar mais turbulento; se \mu aumenta, \mathrm{Re} diminui (escoamento mais laminar).
Para encontrar a velocidade V isolamos V na fórmula:
V=\frac{\mathrm{Re}\,\mu}{\rho D}.

Passo 3

Cálculo da velocidade do óleo (item a). Substituindo os valores do óleo:
  • Converter diâmetro: D=10\\ \text{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Usar \mathrm{Re}=2100, \mu_1=0,021\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}, \rho_1=855\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Aplicando a fórmula:
V=\frac{\mathrm{Re}\,\mu_1}{\rho_1 D}
V=\frac{2100\cdot 0,021}{855\cdot 0,01}.
Faço as contas passo a passo:
  • Numerador: 2100\cdot 0,021 = 44,1.
  • Denominador: 855\cdot 0,01 = 8,55.
  • Divisão:
V=\frac{44,1}{8,55}=5,1578947368\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (bom para projeto rápido de prova):
V\approx 5,16\\ \mathrm{m/s}.
Comentário motivador: deu uma velocidade razoavelmente alta — calma, é só um número; agora usamos esse V no item (b).

Passo 4

Preparação para o item (b): determinar D_2 mantendo \mathrm{Re}=2100 e V igual ao valor calculado no item (a). Dado o segundo fluido com \rho_2 e \mu_2, isolamos D na fórmula do Reynolds:
D=\frac{\mathrm{Re}\,\mu}{\rho V}.
Para o segundo fluido:
D_2=\frac{\mathrm{Re}\,\mu_2}{\rho_2 V}.

Passo 5

Cálculo do novo diâmetro (item b). Substituindo os valores:
  • \mathrm{Re}=2100,
  • \mu_2=0,015\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
  • \rho_2=925\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • V=5,1578947368\\ \mathrm{m/s} (valor não arredondado usado para precisão).
Calcule o numerador e o denominador:
  • Numerador: 2100\cdot 0,015 = 31,5.
  • Denominador: \rho_2 V = 925\cdot 5,1578947368 = 4771,0526316.
Agora a divisão:
D_2=\frac{31,5}{4771,0526316}=0,0066059\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
D_2=0,0066059\\ \mathrm{m}=6,6059\\ \text{mm}.
Arredondando para duas casas decimais:
D_2\approx 6,61\\ \text{mm}.
Interpretação curta e amiga: o novo diâmetro é menor que o anterior. Faz sentido: para manter o mesmo \mathrm{Re} e mesma velocidade, como a viscosidade do segundo fluido \mu_2 é menor (0,015 vs 0,021) o produto \rho V D precisa se ajustar — no caso D diminui.

Passo 6

Resumo final e dica de prova:
  • Fórmula-chave a memorizar: \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}. Para achar V isolar por V=\dfrac{\mathrm{Re}\,\mu}{\rho D}. Para achar D isolar por D=\dfrac{\mathrm{Re}\,\mu}{\rho V}.
  • Sempre verifique unidades (usar metros, segundos, kg, Pa·s) antes de calcular.
  • Se precisar em prova sem calculadora, mantenha frações simples e cancele fatores quando possível; aqui os números eram razoáveis para calcular com uma calculadora de bolso.

Resposta

V=5,16\\ \mathrm{m/s}
D_2=6,61\\ \text{mm}

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