Exercício 3
Água a
deve ser transferida entre dois reservatórios abertos para a atmosfera por uma bomba com altura de projeto
. O reservatório de sucção (ponto 1) está a
(nível de referência) e o de descarga (ponto 2) a
acima da bomba. O diâmetro interno da tubulação é de
.
As perdas de energia ao longo da tubulação podem ser expressas como:
, onde V é a velocidade média no tubo (m/s) e
em J/kg.
Determine a vazão volumétrica máxima que essa bomba pode fornecer ao sistema.
As perdas de energia ao longo da tubulação podem ser expressas como:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede\n
- Dados fornecidos:
- Água a
com densidade . - Altura de projeto da bomba (carga disponível):
. - Nível do reservatório de sucção (ponto 1):
. - Nível do reservatório de descarga (ponto 2):
. - Diâmetro interno da tubulação:
. - Perdas de energia ao longo da tubulação, dadas por energia por unidade de massa:
(unidade: ), onde é a velocidade média no tubo em .
- Água a
- O enunciado pede: determinar a vazão volumétrica máxima
que a bomba pode fornecer ao sistema.
Passo 2
Entendendo a física e a equação que vamos usar (explicação didática)\n
- A bomba fornece uma carga hidráulica
medida em metros de coluna de fluido. Essa carga corresponde a uma energia por unidade de massa igual a (em ), onde é a aceleração da gravidade. - A equação de energia entre a superfície livre do reservatório de sucção (ponto 1) e a superfície livre do reservatório de descarga (ponto 2), por unidade de massa e incluindo a obra da bomba e as perdas, pode ser escrita assim:
Aqui:
-
é a energia adicionada pela bomba por unidade de massa ( ); -
é a variação de energia potencial por unidade de massa devido à elevação; -
é a energia dissipada por unidade de massa nas perdas ao longo da tubulação (já dada em ); - os termos com
são as energias cinéticas por unidade de massa nos pontos 1 e 2. - Observações que simplificam a equação:
- Ambos os reservatórios são abertos à atmosfera, logo as pressões nas superfícies são iguais e se cancelam.
- As superfícies dos reservatórios são normalmente grandes, então as velocidades lá são desprezíveis comparadas à velocidade na tubulação:
. Assim os termos cinéticos nas superfícies podem ser desprezados.
- Com essas simplificações, a equação fica muito simples e prática para prova:
Passo 3
Relacionando
com a velocidade do fluido e isolando
\n
- Do enunciado temos
em . - Substituindo na equação de energia:
- Vamos isolar
:
- Agora substituímos os valores numéricos. Usamos
, e . Então
- Isolando
:
- Portanto a velocidade média no tubo é
Passo 4
Convertendo velocidade em vazão volumétrica
(passo a passo)\n
- A vazão volumétrica relaciona-se com a velocidade média e a área da seção transversal do tubo:
- Calculando a área com
:
Vamos calcular passo a passo:
- Com
(valor obtido no passo anterior),
- Para interpretação prática: em litros por segundo,
Passo 5
Verificação rápida de consistência e interpretação\n
- Unidades:
e estavam em ; também em . A equação ficou homogênea e os números fazem sentido físico: a bomba de precisa vencer os de elevação e o restante vira perdas que limitam a velocidade. - Resultado plausível: velocidade do fluido próxima a
em um diâmetro de dá uma vazão da ordem de , que é exatamente o que encontramos. Mantém coerência para problemas de prova sem cálculo mais complexo.