Exercício 3

Água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right) deve ser transferida entre dois reservatórios abertos para a atmosfera por uma bomba com altura de projeto \mathrm{H}_{\mathrm{P}}=20 \mathrm{~m}. O reservatório de sucção (ponto 1) está a \mathrm{z}_{1}=0 \mathrm{~m} (nível de referência) e o de descarga (ponto 2) a \mathrm{z}_{2}=5,0 \mathrm{~m} acima da bomba. O diâmetro interno da tubulação é de 63,5 \mathrm{~mm}.
As perdas de energia ao longo da tubulação podem ser expressas como: \mathrm{E}_{\mathrm{f}}=6,0 \cdot \mathrm{~V}^{2}, onde V é a velocidade média no tubo (m/s) e \mathrm{E}_{\mathrm{f}} em J/kg.
Determine a vazão volumétrica máxima que essa bomba pode fornecer ao sistema.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede\n
  • Dados fornecidos:
    • Água a 20^\circ\mathrm{C} com densidade \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Altura de projeto da bomba (carga disponível): H_{P}=20\\ \mathrm{m}.
    • Nível do reservatório de sucção (ponto 1): z_{1}=0\\ \mathrm{m}.
    • Nível do reservatório de descarga (ponto 2): z_{2}=5{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro interno da tubulação: D=63{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0635\\ \mathrm{m}.
    • Perdas de energia ao longo da tubulação, dadas por energia por unidade de massa: E_{f}=6{,}0\cdot V^{2} (unidade: \mathrm{J/kg}), onde V é a velocidade média no tubo em \mathrm{m/s}.
  • O enunciado pede: determinar a vazão volumétrica máxima Q que a bomba pode fornecer ao sistema.

Passo 2

Entendendo a física e a equação que vamos usar (explicação didática)\n
  • A bomba fornece uma carga hidráulica H_{P} medida em metros de coluna de fluido. Essa carga corresponde a uma energia por unidade de massa igual a g H_{P} (em \mathrm{J/kg}), onde g é a aceleração da gravidade.
  • A equação de energia entre a superfície livre do reservatório de sucção (ponto 1) e a superfície livre do reservatório de descarga (ponto 2), por unidade de massa e incluindo a obra da bomba e as perdas, pode ser escrita assim:
g H_{P} = g z_{2} - g z_{1} + E_{f} + \left(\frac{V_{2}^{2}}{2}-\frac{V_{1}^{2}}{2}\right).
Aqui:
  • g H_{P} é a energia adicionada pela bomba por unidade de massa ( \mathrm{J/kg});
  • g z_{2}-g z_{1} é a variação de energia potencial por unidade de massa devido à elevação;
  • E_{f} é a energia dissipada por unidade de massa nas perdas ao longo da tubulação (já dada em \mathrm{J/kg});
  • os termos com V^{2}/2 são as energias cinéticas por unidade de massa nos pontos 1 e 2.
  • Observações que simplificam a equação:
    • Ambos os reservatórios são abertos à atmosfera, logo as pressões nas superfícies são iguais e se cancelam.
    • As superfícies dos reservatórios são normalmente grandes, então as velocidades lá são desprezíveis comparadas à velocidade na tubulação: V_{1}\approx V_{2}\approx 0. Assim os termos cinéticos nas superfícies podem ser desprezados.
  • Com essas simplificações, a equação fica muito simples e prática para prova:
g H_{P} = g (z_{2}-z_{1}) + E_{f}.

Passo 3

Relacionando E_{f} com a velocidade do fluido e isolando V\n
  • Do enunciado temos E_{f}=6{,}0\cdot V^{2} em \mathrm{J/kg}.
  • Substituindo na equação de energia:
g H_{P} = g (z_{2}-z_{1}) + 6{,}0\,V^{2}.
  • Vamos isolar V^{2}:
6{,}0\,V^{2} = g\bigl(H_{P} - (z_{2}-z_{1})\bigr).
  • Agora substituímos os valores numéricos. Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, H_{P}=20\\ \mathrm{m} e z_{2}-z_{1}=5{,}0\\ \mathrm{m}. Então
6{,}0\,V^{2} = 9{,}81\cdot(20 - 5) = 9{,}81\cdot 15 = 147{,}15\\ \mathrm{J/kg}.
  • Isolando V^{2}:
V^{2} = \dfrac{147{,}15}{6{,}0} = 24{,}525\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • Portanto a velocidade média no tubo é
V = \sqrt{24{,}525} \approx 4{,}95\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Convertendo velocidade em vazão volumétrica Q (passo a passo)\n
  • A vazão volumétrica relaciona-se com a velocidade média e a área da seção transversal do tubo:
Q = A\,V,\qquad A = \dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • Calculando a área com D=0{,}0635\\ \mathrm{m}:
A = \dfrac{\pi\,(0{,}0635)^{2}}{4}.
Vamos calcular passo a passo:
(0{,}0635)^{2}=0{,}00403225,
\dfrac{(0{,}0635)^{2}}{4}=0{,}0010080625,
A=\pi\cdot 0{,}0010080625\approx 0{,}00316627\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Com V\approx 4{,}952\\ \mathrm{m/s} (valor obtido no passo anterior),
Q = 0{,}00316627\cdot 4{,}952 \approx 0{,}01568\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Para interpretação prática: em litros por segundo,
Q \approx 0{,}01568\\ \mathrm{m^{3}/s}\times 1000 = 15{,}68\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e interpretação\n
  • Unidades: gH_{P} e g(z_{2}-z_{1}) estavam em \mathrm{J/kg}; E_{f} também em \mathrm{J/kg}. A equação ficou homogênea e os números fazem sentido físico: a bomba de 20\\ \mathrm{m} precisa vencer os 5\\ \mathrm{m} de elevação e o restante vira perdas que limitam a velocidade.
  • Resultado plausível: velocidade do fluido próxima a 5\\ \mathrm{m/s} em um diâmetro de 63{,}5\\ \mathrm{mm} dá uma vazão da ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s}, que é exatamente o que encontramos. Mantém coerência para problemas de prova sem cálculo mais complexo.

Resposta

Q \approx 0{,}0157\\ \mathrm{m^{3}/s} \approx 15{,}7\\ \mathrm{L/s}

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