Etanol a 20^{\circ} \mathrm{C} ( \rho=789 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) é bombeado a uma vazão de 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} em estado estacionário, desde o tanque 1, que opera sob pressão manométrica de \mathrm{P}_{1}=150 \mathrm{kPa}, situado a 1,5 \mathrm{~m} acima da bomba, até o tanque 2, que opera sob pressão manométrica de \mathrm{P}_{2}=300 \mathrm{kPa}, situado a 8,0 \mathrm{~m} acima da bomba. Ambos os tanques têm diâmetro muito maior que o da tubulação. As perdas de energia são de 55 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.
Determine a altura de projeto mínima da bomba.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Fluido: etanol a 20^\circ\mathrm{C} com densidade \rho = 789\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vazão: Q = 20\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Pressões (manométricas) nos tanques:
    • P_1 = 150\\ \mathrm{kPa} (tanque 1, sucção).
    • P_2 = 300\\ \mathrm{kPa} (tanque 2, recalque).
  • Alturas (referidas à bomba): o nível do tanque 1 está 1,5\\ \mathrm{m} acima da bomba e o nível do tanque 2 está 8,0\\ \mathrm{m} acima da bomba. Ou seja:
    • z_1 = 1{,}5\\ \mathrm{m}, z_2 = 8{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Perdas de energia (toda a linha): 55\\ \mathrm{J/kg}.
  • Condição: escoamento estacionário; tanques com diâmetro muito maior que o da tubulação (logo velocidades livres nos tanques desprezíveis).
O que se pede:
  • Determinar a altura de projeto mínima da bomba (ou seja, a carga/altitude mínima que a bomba precisa fornecer), expressa em metros.

Passo 2

Qual equação usar e o significado dos termos (aula rápida e prática).
Para escoamento incompressível em regime permanente, com uma bomba que adiciona energia e perdas na tubulação, usa-se a forma de Bernoulli com acrescento da carga fornecida pela bomba e subtração das perdas. A forma geral entre os pontos 1 (superfície do tanque 1) e 2 (superfície do tanque 2) é:
\frac{P_1}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + H_{b} \;=\; \frac{P_2}{\rho g} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + h_L.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{P}{\rho g} é a carga de pressão (head de pressão), em metros.
  • z é a carga de elevação (altitude), em metros.
  • \dfrac{v^2}{2g} é a carga cinética (head de velocidade), em metros.
  • H_{b} é a carga adicionada pela bomba (o que queremos: altura de projeto mínima).
  • h_L são as perdas de carga totais do circuito (em metros).
Constantes/variáveis: \rho densidade ( \mathrm{kg/m^3}), g aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}), v velocidade média do fluido (m/s).

Passo 3

Simplificação usando as hipóteses do enunciado.
Como os tanques têm diâmetro muito maior que o da tubulação, as velocidades nas superfícies dos tanques são desprezíveis: v_1 \approx 0 e v_2 \approx 0. Assim a expressão simplifica para:
H_{b} \;=\; \frac{P_2 - P_1}{\rho g} \;+\; (z_2 - z_1) \;+\; h_L.
Isto quer dizer: a bomba deve fornecer a diferença de carga de pressão, mais a diferença de elevação, mais as perdas de carga.

Passo 4

Converter perdas e pressões para as mesmas unidades e interpretar h_L.
O enunciado deu as perdas como 55\\ \mathrm{J/kg}. Note que 1\\ \mathrm{J/kg} = 1\\ \mathrm{m^2/s^2}. Para transformar em metros de coluna (head), divide-se por g:
h_L \;=\; \frac{55\\ \mathrm{J/kg}}{g} \;=\; \frac{55}{9{,}81}\\ \mathrm{m} \;=\; 5{,}607\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Portanto h_L \approx 5{,}607\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o termo de pressão convertido em metros de coluna.
A diferença de pressão é \Delta P = P_2 - P_1 = 300\\ \mathrm{kPa} - 150\\ \mathrm{kPa} = 150\\ \mathrm{kPa} = 150000\\ \mathrm{Pa}.
A carga de pressão correspondente é
\frac{P_2 - P_1}{\rho g} \;=\; \frac{150000}{\rho g}.
Calculemos \rho g:
\rho g \;=\; 789\cdot 9{,}81 \;=\; 7740{,}09\\ \mathrm{N/m^3}.
Logo
\frac{P_2 - P_1}{\rho g} \;=\; \frac{150000}{7740{,}09}\\ \mathrm{m} \;=\; 19{,}367\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular a diferença de elevação.
z_2 - z_1 \;=\; 8{,}0\\ \mathrm{m} - 1{,}5\\ \mathrm{m} \;=\; 6{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somar todos os termos para obter a carga mínima da bomba.
H_{b} \;=\; \frac{P_2 - P_1}{\rho g} + (z_2 - z_1) + h_L
Substituindo os valores calculados:
H_{b} \;=\; 19{,}367\\ \mathrm{m} + 6{,}5\\ \mathrm{m} + 5{,}607\\ \mathrm{m} = 31{,}474\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para projeto (duas casas significativas é suficiente):
H_{b} \approx 31{,}5\\ \mathrm{m}.

Resposta

31{,}5\\ \mathrm{m}

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