Em uma tubulação horizontal de 175 mm de diâmetro e 1100 m de comprimento, um óleo SAE - 40\left(\nu=181 \mathrm{cSte} \gamma=9500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}\right) escoa, em regime laminar, entre duas seções 1 e 2 . As pressões nas seções 1 e 2 são respectivamente iguais a 520 kPa e 140 kPa . Pede-se:
(A) Viscosidade dinâmica do óleo
(B) Perda de carga distribuída entre as seções 1 e 2;
(C) Velocidade média do escoamento
(D) Número de Reynolds
(E) Vazão
(F) Fator de atrito f

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
Dados (vou listar tudo para a gente não se perder):
\begin{aligned} &D=175\\ \text{mm}=0{,}175\\ \text{m},\\\ &L=1100\\ \text{m},\\\ &\nu=181\\ \text{cSt}=181\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\\\ &\gamma=9500\\ \mathrm{N/m^3},\\\ &p_1=520\\ \text{kPa}=520000\\ \mathrm{Pa},\\\ &p_2=140\\ \text{kPa}=140000\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
O que é pedido:
(A) viscosidade dinâmica do óleo \mu,
(B) perda de carga distribuída entre as seções 1 e 2 (ou seja, h_L),
(C) velocidade média do escoamento V,
(D) número de Reynolds \mathrm{Re},
(E) vazão Q,
(F) fator de atrito f.
Observação útil que já dá simplificação imediata: a diferença de pressão é
\Delta p = p_1-p_2 = 380\\ \text{kPa}=380000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

(A) Converter viscosidade cinemática para o SI e obter a viscosidade dinâmica \mu.
Explicação didática curta: kinemática \nu mede a “viscosidade por unidade de massa” (unidades \mathrm{m^2/s}). A viscosidade dinâmica \mu (unidades \mathrm{Pa\cdot s} ou \mathrm{kg/(m\cdot s)}) relaciona-se com \nu por
\mu = \rho\,\nu,
onde \rho é a densidade do fluido. A relação entre peso específico \gamma (dado) e densidade é
\gamma = \rho g \quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{\gamma}{g}.
Usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Cálculo passo-a-passo:
\nu = 181\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}=1{,}81\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.
\rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{9500}{9{,}81}=968{,}3996\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\text{aprox.}).
\mu=\rho\,\nu=968{,}3996\times 1{,}81\times10^{-4}=0{,}1752803\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário amigo: essa é uma viscosidade grande (óleos SAE-40 são bem viscosos), por isso o valor em Pa·s fica da ordem de 10^{-1}.

Passo 3

(B) Perda de carga distribuída h_L entre as seções 1 e 2.
Explicação didática: para uma tubulação horizontal (mesma elevação) e escoamento uniforme, aplicando uma forma do teorema de Bernoulli entre 1 e 2 e isolando a perda de carga,
h_L=\frac{p_1-p_2}{\rho g}.
Mas como \gamma=\rho g foi fornecido, é muito mais simples usar
h_L=\frac{\Delta p}{\gamma}.
Cálculo:
h_L=\frac{380000}{9500}=40{,}0\\ \text{m}.
Interpretação rápida: a diferença de pressão disponível ao longo dos 1100\\ \mathrm{m} equivale a uma altura de energia de 40\\ \mathrm{m}.

Passo 4

(C) Velocidade média V — escolha do método e derivação.
Por que usar esta fórmula? Como o escoamento foi dito laminar e a tubulação é circular, a lei de Poiseuille para escoamento completamente desenvolvido nos dá o volume por unidade de tempo Q em função da queda de pressão:
Q=\frac{\pi D^4}{128\,\mu}\cdot\frac{\Delta p}{L}.
Daí a velocidade média V (que é Q dividido pela área da seção A=\pi D^2/4) fica
V=\frac{Q}{A}=\frac{\Delta p\,D^2}{32\,\mu\,L}.
Esta fórmula é direta e conveniente no caso laminar — é mais simples que iterar com Darcy–Weisbach e f.
Cálculo com os valores:
D^2=(0{,}175)^2=0{,}030625\\ \mathrm{m^2},
\text{numerador}=\Delta p\,D^2=380000\times 0{,}030625=11637{,}5,
\text{denominador}=32\,\mu\,L=32\times 0{,}1752803\times 1100=6169{,}8676,
V=\frac{11637{,}5}{6169{,}8676}=1{,}88595\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).
Comentário prático: fizemos a conta de modo que você na prova conseguiria aplicar diretamente se lembrar da fórmula de Poiseuille para Q ou da versão arrumada para V.

Passo 5

(D) Número de Reynolds \mathrm{Re}.
Explicação didática: o número de Reynolds para escoamento em tubo é
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Ele é adimensional e classifica o escoamento: \mathrm{Re}\lesssim2300 tipicamente laminar.
Cálculo:
\rho V D = 968{,}3996\times 1{,}88595\times 0{,}175=319{,}6118,
\mathrm{Re}=\frac{319{,}6118}{0{,}1752803}=1824{,}10\\ (\text{adimensional}).
Interpretação: \mathrm{Re}\approx1824<2300, portanto confirmação de que o escoamento é laminar — consistente com o enunciado.

Passo 6

(E) Vazão volumétrica Q.
Explicação didática: Q=V\cdot A, com A=\pi D^2/4.
Cálculo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\pi\cdot 0{,}00765625=0{,}0240470\\ \mathrm{m^2},
Q=V A=1{,}88595\times 0{,}0240470=0{,}0453586\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para L/s se quiser: 0{,}0453586\\ \mathrm{m^3/s}=45{,}36\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

(F) Fator de atrito f.
Explicação didática: para escoamento laminar em tubo circular, o fator de atrito de Darcy (o que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach) é dado por
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
(Isto é uma relação exata para escoamento laminar plenamente desenvolvido.)
Cálculo:
f=\frac{64}{1824{,}10}=0{,}0351059\\ (\text{adimensional}).
Checagem rápida (opcional, só pra garantir): usando Darcy–Weisbach
h_L=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
se substituirmos f=0{,}0351059, L/D=1100/0{,}175 e V calculado, obtemos h_L muito próximo de 40\\ \mathrm{m}, confirmando coerência entre as diferentes formulas (Poiseuille e Darcy com f=64/\mathrm{Re}).

Resposta

(A) \mu=0{,}1752803\\ \mathrm{Pa\cdot s}
(B) h_L=40{,}0\\ \mathrm{m}
(C) V=1{,}88595\\ \mathrm{m/s}
(D) \mathrm{Re}=1824{,}10
(E) Q=0{,}0453586\\ \mathrm{m^3/s}
(F) f=0{,}0351059

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