Óleo lubrificante leve ( c_{p}=2090 \mathrm{~J} / \.\mathrm{kg} \mathrm{K} ) é resfriado pela transferência de calor com água, em um pequeno trocador de calor tubular. O óleo possui uma vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e suas temperaturas na entrada e na saída do trocador de calor são 375 K e 350 K , respectivamente. Água, a 280 K , está disponível numa vazão de 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} para ser utilizada no processo de resfriamento. Considerando que o coeficiente global de troca térmica é 250 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a área de troca térmica para as operações em:
Contracorrente

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica para um trocador tubular em contracorrente. Dados fornecidos (todos os números e variáveis abaixo estão exatamente como dados no enunciado):
  • Óleo (fluido quente):
    • c_{p,o}=2090\\ \mathrm{J/(kg\,K)}
    • \dot m_{o}=0,5\\ \mathrm{kg/s}
    • temperatura de entrada T_{o,in}=375\\ \mathrm{K}
    • temperatura de saída T_{o,out}=350\\ \mathrm{K}
  • Água (fluido frio):
    • temperatura de entrada T_{w,in}=280\\ \mathrm{K}
    • vazão mássica \dot m_{w}=0,201\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,w} não foi fornecido no enunciado (ver observação abaixo)
  • Coeficiente global de transferência de calor:
    • U=250\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}
Observação importante (assumida porque o enunciado não deu): tomar c_{p,w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\,K)} para a água (valor padrão à temperatura ambiente). Sem essa suposição não há como calcular a saída da água e, consequentemente, o LMTD e a área.

Passo 2

Calcular a taxa de calor removida do óleo ( Q) usando balanço energético sobre o óleo (primeiro princípio simples: variação de energia sensível).
A fórmula é
Q=\dot m_{o}\,c_{p,o}\,(T_{o,in}-T_{o,out}).
Substituindo os valores:
Q = 0,5\cdot 2090\cdot (375-350)\\ \mathrm{J/s}.
Fazendo as contas passo a passo:
375-350=25,
2090\cdot 25 = 52250,
0,5\cdot 52250 = 26125.
Portanto
Q = 26125\\ \mathrm{W} = 26,125\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água ( T_{w,out}) usando que o calor ganho pela água é igual a Q:
Q=\dot m_{w}\,c_{p,w}\,(T_{w,out}-T_{w,in}).
Isolando T_{w,out}:
T_{w,out}=T_{w,in}+\frac{Q}{\dot m_{w}\,c_{p,w}}.
Substituindo \dot m_{w}=0,201\\ \mathrm{kg/s} e c_{p,w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\,K)}:
\dot m_{w}\,c_{p,w}=0,201\cdot 4186 = 841,386\\ \mathrm{W/K}.
\frac{Q}{\dot m_{w}\,c_{p,w}}=\frac{26125}{841,386}=31,056\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{w,out}=280 + 31,056 = 311,056\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular as diferenças de temperatura nas extremidades necessárias para o LMTD (trocador em contracorrente).
Definições (para contracorrente):
  • \Delta T_1 = T_{o,in}-T_{w,out} (diferença na extremidade onde o óleo entra)
  • \Delta T_2 = T_{o,out}-T_{w,in} (diferença na extremidade onde o óleo sai)
Calcule:
\Delta T_1 = 375 - 311,056 = 63,944\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = 350 - 280 = 70\\ \mathrm{K}.
A expressão do Log Mean Temperature Difference (LMTD) é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Substituindo:
\Delta T_{lm} = \frac{70 - 63,944}{\ln\!\left(\dfrac{70}{63,944}\right)} = \frac{6,056}{\ln(1,094745)}.
Calculando o denominador:
\ln(1,094745)=0,090568,
\Delta T_{lm}=\frac{6,056}{0,090568}=66,891\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a área de troca A usando a relação global:
Q = U\,A\,\Delta T_{lm}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo Q=26125\\ \mathrm{W}, U=250\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)} e \Delta T_{lm}=66,891\\ \mathrm{K}:
A = \frac{26125}{250\cdot 66,891} = \frac{26125}{16722,75}.
Fazendo a divisão:
A = 1,5629\\ \mathrm{m}^{2}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (precisão compatível com dados):
A \approx 1,56\\ \mathrm{m}^{2}.

Resposta

\;A \approx 1,56\\ \mathrm{m}^{2}

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