1. Óleo de motor escoa a uma vazão de 1 kg / s em um tubo reto com diâmetro de 5 mm . O óleo tem uma temperatura na entrada de 45^circ C e deseja-se aquecê-lo até uma temperatura média na saída do tubo de 80^circ C. A superfície do tubo é mantida a 150^circ C. Determine o comprimento do tubo necessário para tal tarefa. Sugestão: calcule o número de Reynolds na entrada e na saída do tubo antes de continuar a sua análise.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente descobrir o comprimento de um caninho (diâmetro de 5 mm) por onde passa óleo de motor a 1 kg/s, que entra a 45 °C e sai em média a 80 °C. A parede do tubo está a 150 °C o tempo todo. O que vamos usar?
  • Balanço de energia (𝑄̇ = m·cₚ·ΔT) pra saber quanta potência térmica é necessária.
  • Transferência de calor por convecção interna: usar número de Reynolds pra ver se o escoamento é laminar ou turbulento e, aí, usar correlação de Dittus–Boelter (Nu = 0,023 Re⁰·⁸ Pr⁰·⁴) pra achar o coeficiente de convecção h.
  • Finalmente, método do ΔT logarítmico (LMTD) pra ligar 𝑄̇, h, área e comprimento L.

Passo 2

Primeiro a gente calcula os números de Reynolds na entrada (usando viscosidade em 45 °C) e na saída (viscosidade em 80 °C) só pra confirmar o regime de escoamento.
  1. área do tubo:
A = pi D^24 = pi,(0,005)^24 approx 1,963times10^-5,m^2
  1. velocidade média:
v = dot mrho A
Supondo ρ≈850 kg/m³ e viscosidades dinâmicas μ₁≈0,10 Pa·s (45 °C) e μ₂≈0,014 Pa·s (80 °C):
  • v ≈ 1/(850·1,963e-5) ≈ 60 m/s (aprox.)
  1. Re₁ e Re₂:
Re1 = rho v Dmu1approx 850·60·0,0050,10approx 2,550
Re2 = 850·60·0,0050,014approx 18,214
Os dois estão acima de 2 300 (especialmente na saída), então o escoamento é turbulento.

Passo 3

Como é turbulento, usamos Dittus–Boelter pra achar o número de Nusselt médio, tomando propriedades no que chamamos de temperatura de filme (≈ (𝑇_b,avg+𝑇_s)/2 ≈ (62,5+150)/2 ≈ 106 °C):
  • k ≈ 0,13 W/m·K
  • μ_filme ≈ 0,0043 Pa·s
  • cₚ ≈ 2 000 J/kg·K
  • Pr = cₚ μ_filme / k ≈ (2 000·0,0043)/0,13 ≈ 66
  • Re_filme = (ρ v D)/μ_filme ≈ (850·60·0,005)/0,0043 ≈ 59 900
Agora Nu:
Nu = 0,023,Re^0,8,Pr^0,4 approx 0,023,(59,900)^0,8,(66)^0,4 approx 813
E daí o coeficiente de convecção interno h:
h = Nu,kD = 813·0,130,005 approx 2,11times10^4,W/m^2K

Passo 4

Agora o balanço de potência térmica:
dot Q = dot m,cp,(Trm out-Trm in) = 1,kg/s·2000,(80-45),K = 70,000,W
E o ΔT logarítmico (LMTD) entre parede e fluido:
ΔT1 = 150 - 45 = 105,, ΔT2 = 150 - 80 = 70
ΔTlm = ΔT1 - ΔT2ln(ΔT1/ΔT2) = 105 - 70ln(105/70) approx 86,3;°C

Passo 5

Finalmente, a relação entre 𝑄̇, h, comprimento L e LMTD:
dot Q = h,(π D L),ΔTlm Longrightarrow L = dot Qh,π D,ΔTlm
Substituindo:
L = 70,0002,11times10^4 * π *0,005 * 86,3 approx 2,45;m

Resposta

O comprimento do tubo necessário é de aproximadamente 2,45 m.

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