Oléo de motor usado pode ser reciclado por um sistema de reprocessamento patenteado. Suponha que esse sistema inclua um processo durante o qual o óleo do motor escoe ao longo de um tubo de cobre de 1 cm de diâmetro interno e 0,02 cm de espessura a uma taxa de 0,05 kg / s. O óleo entra a 35^circ C e é aquecido a 45^circ C pela condensação de vapor à pressão atmosférica no lado externo. Calcule o comprimento requerido do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre reciclagem de óleo de motor usando um sistema que aquece o óleo passando ele por um tubo de cobre. A gente precisa calcular o comprimento desse tubo para aquecer o óleo de 35°C para 45°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica através do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer o óleo. A fórmula é:
Q = dotm times cp times De
Onde:
  • $ Q $ é o calor necessário (em joules por segundo, ou watts),
  • $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa (0,05 kg/s),
  • $ c_p $ é o calor específico do óleo,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura (45°C - 35°C = 10°C).
Assumindo que o calor específico do óleo de motor é aproximadamente $ 2000 , J/kg·K $, temos:
Q

Passo 3

Agora, precisamos relacionar esse calor com a transferência de calor através do tubo de cobre. A fórmula para condução de calor no tubo é:
Q = 2 pi k L (Texterna - Tinterna)ln(ro / ri)
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do cobre (aproximadamente $ 400 , W/m·K $),
  • $ L $ é o comprimento do tubo que queremos encontrar,
  • $ T_{externa} - T_{interna} $ é a diferença de temperatura,
  • $ r_o $ é o raio externo do tubo,
  • $ r_i $ é o raio interno do tubo.

Passo 4

Vamos calcular os raios interno e externo do tubo. O diâmetro interno é 1 cm, então o raio interno $ r_i $ é 0,5 cm ou 0,005 m. A espessura do tubo é 0,02 cm (0,0002 m), então o raio externo $ r_o $ é:
ri

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula de condução de calor:
1000 = 2 pi times 400 times L times (45 - 35)ln(0,0052 / 0,005)
Primeiro, calculamos o denominador:
ln(0,00520,005) = ln(1,04) approx 0,0392

Passo 6

Agora, isolamos $ L $ na equação:
L
1000 = 2 pi times 400 times L times 100,0392
1000 = 8000 pi L0,0392
1000 times 0,0392 = 8000 pi L
39,2 = 8000 pi L

Resposta

O comprimento requerido do tubo é aproximadamente 0,00156 metros (ou 1,56 milímetros).

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