Óleo SAE 10 W-30 a 100^circ C é bombeado através de um tubo de comprimento L=10 m e diâmetro D=20 mm. A diferença de pressão aplicada é De. A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro d=1 mu m. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é:
V(r)=116 mu(De
Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: a gente tem óleo SAE 10W‐30 a 100 °C escoando de forma laminar num tubo de comprimento L = 10 m e diâmetro D = 20 mm, mas dentro desse tubo tem um filamento metálico central de diâmetro d = 1 μm. A queda de pressão ao longo do tubo é Δp = 5 kPa. Eles já deram o perfil de velocidade para o escoamento anular:
V(r) = 116,mu,l(De
O que pedem: achar o raio onde a tensão de cisalhamento é zero.
Matéria envolvida: escoamento laminar em tubo anular (Mecânica dos Fluidos), derivada de perfil de velocidade, condição de máxima velocidade (onde o gradiente de velocidade some). A ferramenta principal é derivar e igualar a zero.

Passo 2

Vamos lembrar que a tensão de cisalhamento no fluido, em regime laminar, é
tau(r) = mu,dVdr
Então precisamos calcular
dVdr = ddrgl[116mu,De
Como dVdr = De é constante em relação a dVdr = De, fica
Derivando termo a termo:
  • ,
Logo

Passo 3

A condição para tensão de cisalhamento zero é
tau(r)=mu,dVdr=0 Longrightarrow dVdr=0 Longrightarrow -8r ;-;d^2r,ln(d/D) = 0
Multiplicando por -8r^2 ;-;d^2ln(d/D) = 0 Longrightarrow 8r^2 = -d^2ln(d/D) Longrightarrow r^2 = -d^28,ln(d/D) :
r = draiz-8,ln(d/D)
Como (porque ), o lado direito é positivo e podemos tirar raiz:

Passo 4

Só falta colocar números:
  • ln!l(tfracdDr) = ln!l(tfrac1times10^-62times10^-2r) =ln(5times10^-5)approx -9,903 ,
  • r = 1times10^-6raiz-8,(-9,903) = 1times10^-6raiz79,226 approx 1,12times10^-7,m ,
Então

Resposta

A posição radial onde a tensão de cisalhamento se anula é
boxedr approx 1,12times10^-7,m

Exercícios relacionados