Óleo SAE
a
é bombeado através de um tubo de comprimento
e diâmetro
. A diferença de pressão aplicada é
. A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro
. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é:
Trace os gráficos das distribuições de velocidade e da tensão.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem óleo SAE 10W-30 a 100 °C escoando de forma laminar por um tubo de raio externo
e raio interno (o fio metálico)
. O comprimento é
e a queda de pressão ao longo do tubo é
.
Conteúdo: mecânica dos fluidos, escoamento laminar em furo coaxial (anel).
O que precisamos:
Conteúdo: mecânica dos fluidos, escoamento laminar em furo coaxial (anel).
O que precisamos:
- Usar o perfil de velocidade dado
- Derivar a tensão de cisalhamento
- Esboçar os dois perfis (velocidade e tensão) em função de
.
Passo 2
Primeiro, o perfil de velocidade é:
onde
– ;
– é a viscosidade do óleo a 100 °C.
–
–
Esse perfil já satisfaz as condições de contorno
e
. Agora vamos ao próximo passo: encontrar a tensão de cisalhamento.
Passo 3
A tensão de cisalhamento é
Derivando
termo a termo (lembrando que
), obtemos:
Multiplicando por
dá
Note que como
, o segundo termo muda de sinal e faz
positiva perto do fio e negativa perto da parede interna do tubo.
Passo 4
Agora, os esboços:
-
Gráfico de
vs.\ : - Em
e , . - No meio existe um pico (velocidade máxima).
- A curva é “parabólica modificada” com um pequeno desvio logarítmico.
Esquematicamente:
r=a → •
\ /
____/ ← pico
• ← r=R - Em
-
Gráfico de
vs.\ : - Em
a tensão é positiva (fluxo “puxa” o fluido do fio). - Há um ponto onde
(colina do pico de ). - Em
a tensão é negativa (fluido “cobra” da parede).
Esquematicamente:
τ
↑ /\
│ / \
│ + / \ –
└────a───r₀──R──→ r - Em
Resposta
– Perfil de velocidade
dado acima, com zeros em
e
e pico no meio.
– Tensão de cisalhamento
– Tensão de cisalhamento
– Gráficos qualitativos:
• : começa em zero, sobe até um máximo interno e volta a zero na parede.
• : positiva junto ao fio, cruza zero no ponto de
, e fica negativa na parede interna do tubo.
•
•