Óleo SAE 10 W-30 a 100^circ C é bombeado através de um tubo de comprimento L=10 m e diâmetro D=20 mm. A diferença de pressão aplicada é De. A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro d=1 mu m. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é:
V(r)=116 mu(De
Trace os gráficos das distribuições de velocidade e da tensão.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem óleo SAE 10W-30 a 100 °C escoando de forma laminar por um tubo de raio externo e raio interno (o fio metálico) . O comprimento é e a queda de pressão ao longo do tubo é .
Conteúdo: mecânica dos fluidos, escoamento laminar em furo coaxial (anel).
O que precisamos:
  1. Usar o perfil de velocidade dado
  2. Derivar a tensão de cisalhamento
  3. Esboçar os dois perfis (velocidade e tensão) em função de .

Passo 2

Primeiro, o perfil de velocidade é:
V(r);=;116,mu,l(De
onde
;
é a viscosidade do óleo a 100 °C.
Esse perfil já satisfaz as condições de contorno e . Agora vamos ao próximo passo: encontrar a tensão de cisalhamento.

Passo 3

A tensão de cisalhamento é
tau(r);=;mu,dVdr
Derivando dVdr =116mu,l(De termo a termo (lembrando que boxed tau(r) =mu,dVdr =De), obtemos:
Multiplicando por
Note que como , o segundo termo muda de sinal e faz positiva perto do fio e negativa perto da parede interna do tubo.

Passo 4

Agora, os esboços:
  1. Gráfico de vs.\ :
    • Em e , .
    • No meio existe um pico (velocidade máxima).
    • A curva é “parabólica modificada” com um pequeno desvio logarítmico.
    Esquematicamente:
    r=a → •
    \ /
    ____/ ← pico
    • ← r=R
  2. Gráfico de vs.\ :
    • Em a tensão é positiva (fluxo “puxa” o fluido do fio).
    • Há um ponto onde (colina do pico de ).
    • Em a tensão é negativa (fluido “cobra” da parede).
    Esquematicamente:
    τ
    ↑ /\
    │ / \
    │ + / \ –
    └────a───r₀──R──→ r

Resposta

– Perfil de velocidade tau(r)=De dado acima, com zeros em e e pico no meio.
– Tensão de cisalhamento
– Gráficos qualitativos:
: começa em zero, sobe até um máximo interno e volta a zero na parede.
: positiva junto ao fio, cruza zero no ponto de , e fica negativa na parede interna do tubo.

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