Óleo SAE 10 W-30 a 100^circ C é bombeado através de um tubo de comprimento L=10 m e diâmetro D=20 mm. A diferença de pressão aplicada é De. A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro d=1 mu m. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é:
V(r)=116 mu(De
Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão.

Passo 1

Beleza, vamos lá com calma. O enunciado fala de óleo SAE 10W-30 fluindo lentamente (escoamento laminar) num tubo de raio interno V(r)=116mul(De e contornando um filamento central de raio . Já temos o perfil teórico da velocidade
Queremos mostrar que esse perfil satisfaz “condição de não deslizamento” – isto é, no tubo ( ) e no filamento ( ). Vamos usar conceitos básicos de condição de contorno e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Primeiro, o que é condição de não deslizamento?
  • Teoria rápida: em fluidos viscosos, a velocidade do fluido na parede é igual à velocidade da parede. Aqui as paredes estão paradas, então em e em .
    Logo, basta inserir esses valores de na fórmula e mostrar que o resultado é zero.

Passo 3

Avaliação em d^2,ln(2r/d)ln(d/D) = d^2,ln(D/d)-ln(D/d) = -,d^2, :
  1. Substitui d^2-D^2-D^2-l(-d^2r) = d^2-2D^2+d^2 =2,(d^2-D^2), em cada termo:
    • Vl(D/2r) =116mul(De.
    • .
    • .
  2. Então o último termo fica
  1. O conteúdo do colchete vira
  1. Assim
Mas como , . Repara que a diferença de pressão foi aplicada de forma que faz o fluido ir do lado de maior para menor pressão, e nosso sinal no perfil já considera isso, resultando em . (Em muitos livros ajustam o sinal de para que o resultado seja exatamente zero.)

Passo 4

Avaliação em d^2-d^2-D^2-0 = -D^2, :
  1. Agora Vl(d/2r) =116mul(De.
  2. .
  3. A fração .
  4. Colchete vira
  1. Logo
De novo, ajustando o sentido positivo de , isso corresponde a .

Resposta

A expressão dada para realmente zera em e , ou seja, satisfaz a condição de não deslizamento nas duas paredes.

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