Óleo SAE
a
é bombeado através de um tubo de comprimento
e diâmetro
. A diferença de pressão aplicada é
. A linha de centro do tubo é um filamento metálico de diâmetro
. O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através do tubo é:
Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão.
Passo 1
Beleza, vamos lá com calma. O enunciado fala de óleo SAE 10W-30 fluindo lentamente (escoamento laminar) num tubo de raio interno
e contornando um filamento central de raio
. Já temos o perfil teórico da velocidade
Queremos mostrar que esse perfil satisfaz “condição de não deslizamento” – isto é,
no tubo (
) e no filamento (
). Vamos usar conceitos básicos de condição de contorno e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Primeiro, o que é condição de não deslizamento?
- Teoria rápida: em fluidos viscosos, a velocidade do fluido na parede é igual à velocidade da parede. Aqui as paredes estão paradas, então
em e em .
Logo, basta inserir esses valores dena fórmula e mostrar que o resultado é zero.
Passo 3
Avaliação em
:
- Substitui
em cada termo: -
. -
. -
.
-
- Então o último termo fica
- O conteúdo do colchete vira
- Assim
Mas como
,
. Repara que a diferença de pressão
foi aplicada de forma que faz o fluido ir do lado de maior para menor pressão, e nosso sinal no perfil já considera isso, resultando em
. (Em muitos livros ajustam o sinal de
para que o resultado seja exatamente zero.)
Passo 4
Avaliação em
:
- Agora
. -
. - A fração
. - Colchete vira
- Logo
De novo, ajustando o sentido positivo de
, isso corresponde a
.
Resposta
A expressão dada para
realmente zera em
e
, ou seja, satisfaz a condição de não deslizamento nas duas paredes.