Considerando uma superficie de um corpo negro a 400 K , determine:
a) A faixa de comprimento de onda
capaz de emitir a mesma quantidade de radiação que esta superfície emite apenas para
.
b) A temperatura de uma superficie cinza
para que esta emita a mesma quantidade de radiação que a do corpo negro.
a) A faixa de comprimento de onda
b) A temperatura de uma superficie cinza
Passo 1
E aí! Vamos resolver um problema de radiação de corpos negros e cinzentos, que envolve:
· Conteúdo: Lei de Stefan-Boltzmann, Lei de Wien e a distribuição espectral de Planck.
· O que precisamos:
· Conteúdo: Lei de Stefan-Boltzmann, Lei de Wien e a distribuição espectral de Planck.
· O que precisamos:
- Calcular λₘₐₓ (Lei de Wien) para o corpo negro a 400 K.
- Expressar a emissão espectral de Planck e montar a condição “área sob a curva de 0 até λ” igual ao valor da emissão em λₘₐₓ”.
- Para a superfície cinza, usar que E = ε·σ·T⁴ e igualar à emissão do negro a 400 K.
A partir do próximo passo a gente já mexe com os cálculos!
Passo 2
Primeiro, encontra λₘₐₓ do corpo negro a 400 K usando a Lei de Wien:
onde
.
Substituindo:
Substituindo:
Passo 3
Para a parte (a), a gente quer achar um comprimento de onda λ tal que a área sob a curva espectral de Planck,
seja igual a
avaliado em
.
A função espectral de Planck (por unidade de comprimento de onda) é:
O que a gente faz:
- Substitui
K e para achar . - Define a integral
e ajusta λ até essa área dar exatamente o valor de .
Esse ajuste se faz numericamente (porque não há forma fechada simples). Se você usar um software ou tabela, encontra
Passo 4
Resumo do raciocínio numérico (você pode repetir no Python, MATLAB, etc.):
- Calcule
via a fórmula de Planck. - Faça um loop em λ de 0 até, digamos, 20 μm, estimando a integral
(por regra do trapézio ou similar). - Pare quando a integral bater em
. O λ obtido é cerca de 4,9 μm.
Passo 5
Para a parte (b), superfície cinza de emissividade ε = 0,87 deve emitir o mesmo que o negro a 400 K.
– Emissão total do corpo negro:
– Emissão total do corpo negro:
– Para a cinza vale
. Queremos
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Substituindo ε = 0,87:
Resposta
a) Aproximadamente λ ≃ 4,9 μm.
b) T ≃ 414 K.
b) T ≃ 414 K.