Considerando uma superficie de um corpo negro a 400 K , determine:
a) A faixa de comprimento de onda [0, lambda] capaz de emitir a mesma quantidade de radiação que esta superfície emite apenas para lambda max .
b) A temperatura de uma superficie cinza varepsilon=0,87 para que esta emita a mesma quantidade de radiação que a do corpo negro.

Passo 1

E aí! Vamos resolver um problema de radiação de corpos negros e cinzentos, que envolve:
· Conteúdo: Lei de Stefan-Boltzmann, Lei de Wien e a distribuição espectral de Planck.
· O que precisamos:
  1. Calcular λₘₐₓ (Lei de Wien) para o corpo negro a 400 K.
  2. Expressar a emissão espectral de Planck e montar a condição “área sob a curva de 0 até λ” igual ao valor da emissão em λₘₐₓ”.
  3. Para a superfície cinza, usar que E = ε·σ·T⁴ e igualar à emissão do negro a 400 K.
A partir do próximo passo a gente já mexe com os cálculos!

Passo 2

Primeiro, encontra λₘₐₓ do corpo negro a 400 K usando a Lei de Wien:
λmáx = bT, á
onde λmáx = 2,898times10^-3400 = 7,245times10^-6;m = 7,245;mum .
Substituindo:
á

Passo 3

Para a parte (a), a gente quer achar um comprimento de onda λ tal que a área sob a curva espectral de Planck,
integral0^λ Mλ'(T),dλ',
seja igual a Mλ(T) ;=; 2pi hc^2λ^5,1e^hc/(λkT) - 1 avaliado em λ ;approx; 4,9;mum á.
A função espectral de Planck (por unidade de comprimento de onda) é:
O que a gente faz:
  1. Substitui K e á para achar á.
  2. Define a integral e ajusta λ até essa área dar exatamente o valor de á.
Esse ajuste se faz numericamente (porque não há forma fechada simples). Se você usar um software ou tabela, encontra

Passo 4

Resumo do raciocínio numérico (você pode repetir no Python, MATLAB, etc.):
  1. Calcule á via a fórmula de Planck.
  2. Faça um loop em λ de 0 até, digamos, 20 μm, estimando a integral (por regra do trapézio ou similar).
  3. Pare quando a integral bater em á. O λ obtido é cerca de 4,9 μm.

Passo 5

Para a parte (b), superfície cinza de emissividade ε = 0,87 deve emitir o mesmo que o negro a 400 K.
– Emissão total do corpo negro:
Enegro = sigma,T^4 = 5,67times10^-8,(400)^4 ;approx;1,45times10^3;W/m^2
– Para a cinza vale ε,σ,Tcinza^4 = σ,(400)^4 ;;Longrightarrow;; Tcinza = 400;ε^-1/4 . Queremos Tcinza = 400;(0,87)^-1/4 approx 400 times 1,034 approx 414;K , logo
Substituindo ε = 0,87:

Resposta

a) Aproximadamente λ ≃ 4,9 μm.
b) T ≃ 414 K.

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