Nas olimpíadas de inverno o biatlon é uma competição que combina 20 km de ski na neve com tiro ao alvo com rifle. Até 1974 a distância do atirador até o alvo era de 150 m . Supondo a velocidade da bala em torno de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual precisa ser o ângulo do rifle para o atirador atingir o alvo, considerando que o rifle e o alvo estão alinhados horizontalmente? Ignore qualquer força adicional como vento e atrito com o ar.

Passo 1

Estamos diante de um problema de projétil lançado obliquamente cujo ponto de partida e de chegada estão à mesma altura. O enunciado dá a velocidade inicial v=400,\mathrm{m/s} e a distância horizontal até o alvo R=150,\mathrm{m}. Vamos usar a fórmula do alcance horizontal para determinar o ângulo de tiro \theta.

Passo 2

Para um projétil lançado com velocidade inicial v e ângulo \theta, desprezando resistência do ar, o alcance horizontal R satisfaz
R = \frac{v^{2}}{g}\,\sin\bigl(2\theta\bigr),
onde g=9,8,\mathrm{m/ s^2} é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Isolando \sin(2\theta), temos
\sin\bigl(2\theta\bigr) = \frac{g\,R}{v^{2}}.

Passo 4

Substituindo g=9,8,\mathrm{m/ s^2}, R=150,\mathrm{m} e v=400,\mathrm{m/s},
\sin\bigl(2\theta\bigr) = \frac{9,8 \times 150}{400^{2}} = 0,0091875.
Logo
2\theta = \arcsin(0,0091875)\approx 0,0091876\;\text{rad}.

Passo 5

Dividindo por 2 e convertendo para graus, obtemos
\theta \approx \frac{0,0091876}{2}\,\text{rad} =0,0045938\;\text{rad} \approx0,263^\circ.
(Note que existe também a solução complementar \theta'\approx90^\circ-0,263^\circ, mas ela não é prática num rifle.)

Resposta

\theta\approx0,0046,rad \approx0,263^\circ

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