Se Omega=x1, x2, ldots, xN é um conjunto finito com N elementos, quantos são os subconjuntos de Omega, ou seja, qual a cardinalidade de P(Omega), partes de Omega?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para descobrir quantos subconjuntos existem em um conjunto finito Omega que tem N elementos. Isso faz parte do conteúdo de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre Conjuntos Potência. Para resolver, vamos precisar entender o que é um subconjunto e como calcular a quantidade total deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subconjunto. Um subconjunto é qualquer conjunto que pode ser formado a partir dos elementos de Omega, incluindo o próprio conjunto Omega e o conjunto vazio varnothing. Por exemplo, se Omega = a, b, os subconjuntos são: varnothing, a, b e a, b.

Passo 3

Agora, para calcular o número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos, podemos usar uma regra da combinatória. Cada elemento do conjunto tem duas opções: ou ele está no subconjunto ou não está. Isso significa que para cada um dos N elementos, temos 2 escolhas.

Passo 4

Como as escolhas são independentes umas das outras, multiplicamos o número de opções para cada elemento. Portanto, o total de subconjuntos é 2 times 2 times ldots times 2 ( N vezes), o que resulta em 2^N.

Resposta

O número total de subconjuntos de Omega é 2^N.

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