Uma onda de comprimento
incide sobre um experimento de dupla fenda, cuja a distância entre as fendas é dada por
. Sabendo que a franja brilhante mais próxima ao máximo central ocorre em um ângulo de
em um anteparo situado a uma distância de
, qual o ângulo dessa franja caso se dobre o comprimento de onda incidente? (Resp:
) Qual a distância no anteparo entre esses máximos? (Resp: 4,13m)
Passo 1
O enunciado dá um experimento de dupla fenda com distância entre as fendas
e uma onda de comprimento
incindindo. Diz que a franja brilhante mais próxima ao máximo central aparece a um ângulo de
num anteparo a distância
. Pergunta-se: (1) qual será o ângulo dessa franja se dobrarmos o comprimento de onda (ou seja, usar
)? e (2) qual é a distância no anteparo entre esses dois máximos (o antes e o depois de dobrar
)?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Ângulo inicial:
. - Distância até o anteparo:
. - Franja brilhante mais próxima ao máximo central corresponde ao primeiro máximo (ordem
). - Queremos o novo ângulo
para comprimento e a distância entre as posições no anteparo correspondentes a e .
Passo 2
Relembrando a condição para máximos de interferência em dupla fenda: a diferença de caminho entre as ondas que passam pelas duas fendas deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A fórmula é
onde:
-
é a separação entre as fendas; -
é o ângulo da franja em relação à normal; -
é a ordem do máximo ( centro, primeira franja brilhante, etc.); -
é o comprimento de onda.
Aqui a franja mais próxima do máximo central é a de primeira ordem, logo. Portanto, para o caso inicial temos
Não precisamos conhecer
; podemos eliminá-lo usando essa relação.
Passo 3
Agora dobramos o comprimento de onda:
. Para o primeiro máximo (
) com o novo comprimento de onda vale
Usando
da etapa anterior, substituímos:
Isto é prático: basta calcular
, dobrar e tirar arco-seno (desde que o valor resultante seja
, caso contrário não existiria máximo de ordem 1).
Passo 4
Calculemos numericamente. Primeiro obtenha
:
Dobrando:
Isso está menor que
, então existe solução. Agora
. Calculando o arco-seno:
(Isto responde a primeira pergunta: quando dobramos
, a primeira franja brilhante desloca-se para cerca de
.)
Passo 5
Para achar a posição das franjas no anteparo usamos a relação trigonométrica entre o ângulo e a coordenada vertical
no anteparo, medida a partir do centro:
Esta fórmula é exata (não é aproximação de pequeno ângulo) e vale porque, para um anteparo plano a distância
da fenda, a coordenada vertical é a tangente do ângulo vezes
. Assim a posição inicial é
e a posição após dobrar
é
A distância entre as duas posições (no anteparo) é
Passo 6
Agora calculamos numericamente com
,
e
. Primeiro as tangentes:
Multiplicando por
:
Logo a distância entre os máximos é
ou seja aproximadamente
.