Uma onda de comprimento \lambda incide sobre um experimento de dupla fenda, cuja a distância entre as fendas é dada por d. Sabendo que a franja brilhante mais próxima ao máximo central ocorre em um ângulo de 20^{\mathrm{O}} em um anteparo situado a uma distância de L=7,2 m, qual o ângulo dessa franja caso se dobre o comprimento de onda incidente? (Resp: 43,16^{o} ) Qual a distância no anteparo entre esses máximos? (Resp: 4,13m)

Passo 1

O enunciado dá um experimento de dupla fenda com distância entre as fendas d e uma onda de comprimento \lambda incindindo. Diz que a franja brilhante mais próxima ao máximo central aparece a um ângulo de 20^\circ num anteparo a distância L=7,2\\ \mathrm{m}. Pergunta-se: (1) qual será o ângulo dessa franja se dobrarmos o comprimento de onda (ou seja, usar 2\lambda)? e (2) qual é a distância no anteparo entre esses dois máximos (o antes e o depois de dobrar \lambda)?
Informações relevantes listadas:
  • Ângulo inicial: \theta_1 = 20^\circ.
  • Distância até o anteparo: L=7,2\\ \mathrm{m}.
  • Franja brilhante mais próxima ao máximo central corresponde ao primeiro máximo (ordem m=1).
  • Queremos o novo ângulo \theta_2 para comprimento 2\lambda e a distância entre as posições no anteparo correspondentes a \theta_1 e \theta_2.

Passo 2

Relembrando a condição para máximos de interferência em dupla fenda: a diferença de caminho entre as ondas que passam pelas duas fendas deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda. A fórmula é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas;
  • \theta é o ângulo da franja em relação à normal;
  • m é a ordem do máximo ( m=0 centro, m=1 primeira franja brilhante, etc.);
  • \lambda é o comprimento de onda.
    Aqui a franja mais próxima do máximo central é a de primeira ordem, logo m=1. Portanto, para o caso inicial temos
d\sin\theta_1 = 1\cdot \lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = d\sin\theta_1.
Não precisamos conhecer d; podemos eliminá-lo usando essa relação.

Passo 3

Agora dobramos o comprimento de onda: \lambda' = 2\lambda. Para o primeiro máximo ( m=1) com o novo comprimento de onda vale
d\sin\theta_2 = 1\cdot \lambda' = 2\lambda.
Usando \lambda = d\sin\theta_1 da etapa anterior, substituímos:
d\sin\theta_2 = 2(d\sin\theta_1) \quad\Rightarrow\quad \sin\theta_2 = 2\sin\theta_1.
Isto é prático: basta calcular \sin\theta_1, dobrar e tirar arco-seno (desde que o valor resultante seja \le 1, caso contrário não existiria máximo de ordem 1).

Passo 4

Calculemos numericamente. Primeiro obtenha \sin\theta_1:
\sin 20^\circ \approx 0,3420201433.
Dobrando:
2\sin 20^\circ \approx 0,6840402867.
Isso está menor que 1, então existe solução. Agora \theta_2 = \arcsin(0,6840402867). Calculando o arco-seno:
\theta_2 \approx 43,16^\circ.
(Isto responde a primeira pergunta: quando dobramos \lambda, a primeira franja brilhante desloca-se para cerca de 43,16^\circ.)

Passo 5

Para achar a posição das franjas no anteparo usamos a relação trigonométrica entre o ângulo e a coordenada vertical y no anteparo, medida a partir do centro:
y = L\tan\theta.
Esta fórmula é exata (não é aproximação de pequeno ângulo) e vale porque, para um anteparo plano a distância L da fenda, a coordenada vertical é a tangente do ângulo vezes L. Assim a posição inicial é
y_1 = L\tan\theta_1,
e a posição após dobrar \lambda é
y_2 = L\tan\theta_2.
A distância entre as duas posições (no anteparo) é
\Delta y = y_2 - y_1 = L\bigl(\tan\theta_2 - \tan\theta_1\bigr).

Passo 6

Agora calculamos numericamente com L=7,2\\ \mathrm{m}, \theta_1=20^\circ e \theta_2\approx 43,16^\circ. Primeiro as tangentes:
\tan 20^\circ \approx 0,3639702343,
\tan 43{,}16^\circ \approx 0,9379530667.
Multiplicando por L:
y_1 = 7,2\cdot 0,3639702343 \approx 2,6206\\ \mathrm{m},
y_2 = 7,2\cdot 0,9379530667 \approx 6,7533\\ \mathrm{m}.
Logo a distância entre os máximos é
\Delta y = y_2 - y_1 \approx 6,7533 - 2,6206 = 4,1327\\ \mathrm{m},
ou seja aproximadamente 4,13\\ \mathrm{m}.

Resposta

\theta_2 \approx 43,16^\circ
\Delta y \approx 4,13\\ \mathrm{m}

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