Uma onda de comprimento
incide sobre um experimento de dupla fenda, cuja a distância entre as fendas é dada por
. Qual o número máximo de franjas brilhantes e escuras em um anteparo situado paralelamente ao eixo das fendas e a uma distância
? Qual a distância entre dois máximos consecutivos e entre dois mínimos consecutivos?
Passo 1
O enunciado fornece:
Perguntas que precisamos responder:
- Qual o número máximo de franjas brilhantes (máximos) sobre o anteparo?
- Qual o número máximo de franjas escuras (mínimos) sobre o anteparo?
- Qual a distância entre dois máximos consecutivos?
- Qual a distância entre dois mínimos consecutivos?
Passo 2
Primeiro lembrar a condição de máximos de interferência de dupla fenda: os máximos (franjas brilhantes) ocorrem quando a diferença de caminho entre as fendas é um múltiplo inteiro de
. Escrevemos isso como
onde
é um número inteiro (
). Para duas fendas separadas por distância
e um ângulo
para um máximo de ordem
,
Essa fórmula nos diz que um máximo existe somente se
, ou seja, se
Aqui as variáveis significam:
-
: comprimento de onda da luz, -
: separação entre as fendas, -
: ordem do máximo (inteiro), -
: ângulo medido a partir do eixo central até o máximo de ordem .
Passo 3
Aplicamos a desigualdade anterior com o dado
:
Os valores inteiros de
que satisfazem isso são
ou seja,
valores distintos. Portanto existem
máximos visíveis (contando o máximo central
e os pares simétricos).
Passo 4
Agora a condição de mínimos (franjas escuras) de interferência para duas fendas é
com
inteiro. Assim
Um mínimo existe se
, ou seja,
Passo 5
Com
temos
Os inteiros
que satisfazem isto vão de
até
, pois:
- para
temos , - para
teríamos (não permitido), - para
temos em valor absoluto , - para
teríamos em valor absoluto (não permitido).
Listando:— ao todo valores. Portanto existem mínimos visíveis no anteparo.
Passo 6
Agora vamos achar a separação entre franjas consecutivas. Para pequenas angulações (configuração de anteparo distante, que é o caso quando
é muito maior que
e
), usamos a aproximação
Para máximos temos
, então
A separação entre dois máximos consecutivos (ordens
e
) é
O mesmo raciocínio para mínimos dá, analogamente,
Ou seja, o espaçamento entre máximos consecutivos é igual ao espaçamento entre mínimos consecutivos e vale
.
Passo 7
Substituímos
para eliminar
:
Com
obtemos
Portanto a distância entre máximos consecutivos é
, e a mesma distância vale entre mínimos consecutivos.