Uma onda de comprimento \lambda incide sobre um experimento de dupla fenda, cuja a distância entre as fendas é dada por d=5,3 \lambda. Qual o número máximo de franjas brilhantes e escuras em um anteparo situado paralelamente ao eixo das fendas e a uma distância \mathrm{L}=15,9 \mathrm{~m} ? Qual a distância entre dois máximos consecutivos e entre dois mínimos consecutivos?

Passo 1

O enunciado fornece:
d = 5,3\,\lambda
L = 15,9\\ \mathrm{m}
Perguntas que precisamos responder:
  1. Qual o número máximo de franjas brilhantes (máximos) sobre o anteparo?
  2. Qual o número máximo de franjas escuras (mínimos) sobre o anteparo?
  3. Qual a distância entre dois máximos consecutivos?
  4. Qual a distância entre dois mínimos consecutivos?

Passo 2

Primeiro lembrar a condição de máximos de interferência de dupla fenda: os máximos (franjas brilhantes) ocorrem quando a diferença de caminho entre as fendas é um múltiplo inteiro de \lambda. Escrevemos isso como
\Delta = m\,\lambda,
onde m é um número inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots ). Para duas fendas separadas por distância d e um ângulo \theta para um máximo de ordem m,
\sin\theta_m = \frac{m\,\lambda}{d}.
Essa fórmula nos diz que um máximo existe somente se |\sin\theta_m|\le 1, ou seja, se
|m| \le \frac{d}{\lambda}.
Aqui as variáveis significam:
  • \lambda: comprimento de onda da luz,
  • d: separação entre as fendas,
  • m: ordem do máximo (inteiro),
  • \theta_m: ângulo medido a partir do eixo central até o máximo de ordem m.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade anterior com o dado d = 5,3\,\lambda:
|m| \le \frac{d}{\lambda} = 5,3.
Os valores inteiros de m que satisfazem isso são
m = -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,
ou seja, 11 valores distintos. Portanto existem 11 máximos visíveis (contando o máximo central m=0 e os pares simétricos).

Passo 4

Agora a condição de mínimos (franjas escuras) de interferência para duas fendas é
\Delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
com m inteiro. Assim
\sin\theta_m = \frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}.
Um mínimo existe se |\sin\theta_m|\le 1, ou seja,
|m+\tfrac{1}{2}| \le \frac{d}{\lambda}.

Passo 5

Com d/\lambda = 5,3 temos
|m+\tfrac{1}{2}| \le 5,3.
Os inteiros m que satisfazem isto vão de m=-5 até m=4, pois:
  • para m=4 temos m+\tfrac{1}{2}=4{,}5\le 5{,}3,
  • para m=5 teríamos 5{,}5>5{,}3 (não permitido),
  • para m=-5 temos -4{,}5 em valor absoluto 4{,}5\le 5{,}3,
  • para m=-6 teríamos -5{,}5 em valor absoluto 5{,}5>5{,}3 (não permitido).
    Listando: m=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 — ao todo 10 valores. Portanto existem 10 mínimos visíveis no anteparo.

Passo 6

Agora vamos achar a separação entre franjas consecutivas. Para pequenas angulações (configuração de anteparo distante, que é o caso quando L é muito maior que d e \lambda), usamos a aproximação
y_m \approx L\tan\theta_m \approx L\sin\theta_m.
Para máximos temos \sin\theta_m = \dfrac{m\lambda}{d}, então
y_m \approx L\frac{m\lambda}{d}.
A separação entre dois máximos consecutivos (ordens m e m+1) é
\Delta y_{\text{máx}} = y_{m+1}-y_m \approx L\frac{(m+1)\lambda}{d} - L\frac{m\lambda}{d} = L\frac{\lambda}{d}.á
O mesmo raciocínio para mínimos dá, analogamente,
\Delta y_{\text{mín}} = L\frac{\lambda}{d}.í
Ou seja, o espaçamento entre máximos consecutivos é igual ao espaçamento entre mínimos consecutivos e vale L\lambda/d.

Passo 7

Substituímos d = 5,3\,\lambda para eliminar \lambda:
\Delta y = L\frac{\lambda}{d} = L\frac{\lambda}{5,3\,\lambda} = \frac{L}{5,3}.
Com L = 15,9\\ \mathrm{m} obtemos
\Delta y = \frac{15,9}{5,3} = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância entre máximos consecutivos é 3{,}0\\ \mathrm{m}, e a mesma distância vale entre mínimos consecutivos.

Resposta

\text{Número máximo de franjas brilhantes} = 11úá
\text{Número máximo de franjas escuras} = 10úá
\text{Distância entre máximos consecutivos} = 3{,}0\\ \mathrm{m}âá
\text{Distância entre mínimos consecutivos} = 3{,}0\\ \mathrm{m}âí

Exercícios relacionados