Ache a distância entre os pontos (3,-4,2) e (0,5,1), em coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em coordenadas retangulares:
P=(3,-4,2)
Q=(0,5,1)
E pergunta qual é a distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula que usamos para distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3. Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), a distância d(P,Q) é dada por
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando por quê: imagine o segmento que liga P a Q. Projetando esse segmento no plano xy obtemos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a projeção no plano xy e cujos catetos são as diferenças em x e y. Aplicando o Teorema de Pitágoras no plano xy obtemos a distância projetada \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Em seguida formamos outro triângulo retângulo entre essa projeção e a diferença em z; aplicando Pitágoras de novo obtemos a fórmula acima. Aqui cada termo significa:
\;x_2-x_1 = diferença nas coordenadas x,
\;y_2-y_1 = diferença nas coordenadas y,
\;z_2-z_1 = diferença nas coordenadas z.

Passo 3

Calculemos as diferenças de coordenadas entre Q e P:
\Delta x = x_2-x_1 = 0-3 = -3,
\Delta y = y_2-y_1 = 5-(-4) = 5+4 = 9,
\Delta z = z_2-z_1 = 1-2 = -1.
Observação: é normal obter diferenças negativas; depois vamos elevar ao quadrado, então o sinal não importa.

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado cada diferença e somamos conforme a fórmula:
(\Delta x)^2 = (-3)^2 = 9,
(\Delta y)^2 = 9^2 = 81,
(\Delta z)^2 = (-1)^2 = 1.
Somando:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = 9+81+1 = 91.

Passo 5

A distância é a raiz quadrada dessa soma:
d(P,Q)=\sqrt{91}.
Podemos checar se \sqrt{91} simplifica: como 91=7\cdot13 e não tem fator quadrado maior que 1, não há simplificação racional. Se quiser uma aproximação numérica rápida, \sqrt{91}\approx9{,}539, mas a forma exata é melhor para prova.

Resposta

\sqrt{91}

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