Ache a distância entre os pontos \left(1, \frac{\pi}{4}, 0\right) e \left(1, \frac{3 \pi}{4}, \pi\right), em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois pontos dados em coordenadas esféricas. Os pontos fornecidos são:
\left(1,\frac{\pi}{4},0\right) e \left(1,\frac{3\pi}{4},\pi\right).
Anotei as informações relevantes:
  • Para o primeiro ponto: \rho=1, \theta=\frac{\pi}{4}, \varphi=0.
  • Para o segundo ponto: \rho=1, \theta=\frac{3\pi}{4}, \varphi=\pi.
    A missão é calcular a distância euclidiana entre esses dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos converter cada ponto de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Primeiro, a fórmula de conversão (vou explicar o que cada símbolo significa):
x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=\rho\cos\theta.
Explicação das variáveis:
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio).
  • \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (vai de 0 a \pi).
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo (vai de 0 a 2\pi).
    Por que essas fórmulas? Se projetarmos o ponto no plano xy, a distância dessa projeção à origem é \rho\sin\theta (porque a componente ao longo de z é \rho\cos\theta, formando um triângulo retângulo). Depois nessa projeção usamos as fórmulas polares: x=(\rho\sin\theta)\cos\varphi e y=(\rho\sin\theta)\sin\varphi.

Passo 3

Converter o primeiro ponto \left(1,\frac{\pi}{4},0\right) para cartesianas.
Usando as fórmulas:
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos 0=1,\qquad \sin 0=0.
Então
x_1 = 1\cdot\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2},
y_1 = 1\cdot\sin\frac{\pi}{4}\cdot\sin 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 = 0,
z_1 = 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto o primeiro ponto em cartesianas é \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,0,\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 4

Converter o segundo ponto \left(1,\frac{3\pi}{4},\pi\right) para cartesianas.
Primeiro os valores trigonométricos:
\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0.
Aplicando as fórmulas:
x_2 = 1\cdot\sin\frac{3\pi}{4}\cdot\cos\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2},
y_2 = 1\cdot\sin\frac{3\pi}{4}\cdot\sin\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0 = 0,
z_2 = 1\cdot\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto o segundo ponto em cartesianas é \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\,0,\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 5

Calcular a distância euclidiana entre os dois pontos cartesianas. A fórmula da distância entre (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Substituindo nossos valores:
x_2-x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2},
y_2-y_1 = 0-0 = 0,
z_2-z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.
Então
d=\sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 0 + 2} = \sqrt{4} = 2.

Passo 6

Observação geométrica (útil para prova): os dois pontos são opostos (antípodas) na esfera de raio \rho=1 porque (x_2,y_2,z_2)=-(x_1,y_1,z_1). Para pontos antípodas em uma esfera de raio \rho a distância é 2\rho. Aqui 2\rho=2\cdot 1=2, que confirma o cálculo anterior.

Resposta

2

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