Ache a distância entre os pontos
e
, em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre dois pontos dados em coordenadas esféricas. Os pontos fornecidos são:
e
.
Anotei as informações relevantes:
Anotei as informações relevantes:
- Para o primeiro ponto:
, , . - Para o segundo ponto:
, , .
A missão é calcular a distância euclidiana entre esses dois pontos no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos converter cada ponto de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Primeiro, a fórmula de conversão (vou explicar o que cada símbolo significa):
Explicação das variáveis:
-
é a distância do ponto à origem (raio). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (vai de a ). -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo (vai de a ).
Por que essas fórmulas? Se projetarmos o ponto no plano, a distância dessa projeção à origem é (porque a componente ao longo de é , formando um triângulo retângulo). Depois nessa projeção usamos as fórmulas polares: e .
Passo 3
Converter o primeiro ponto
para cartesianas.
Usando as fórmulas:
Usando as fórmulas:
Então
Portanto o primeiro ponto em cartesianas é
.
Passo 4
Converter o segundo ponto
para cartesianas.
Primeiro os valores trigonométricos:
Primeiro os valores trigonométricos:
Aplicando as fórmulas:
Portanto o segundo ponto em cartesianas é
.
Passo 5
Calcular a distância euclidiana entre os dois pontos cartesianas. A fórmula da distância entre
e
é
Substituindo nossos valores:
Então
Passo 6
Observação geométrica (útil para prova): os dois pontos são opostos (antípodas) na esfera de raio
porque
. Para pontos antípodas em uma esfera de raio
a distância é
. Aqui
, que confirma o cálculo anterior.