Uma onda eletromagnética harmônica plana propaga-se num meio com mu=muo e tem seu campo elétrico dado por (unidades do sistema MKS):
Ex=0,5 sen(4 pi5 z-2 pi 10^8 t) ; Ey=Ez=0. Calcule:
o vetor de onda k;
Dado: c=3 cdot 10^8 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre ondas eletromagnéticas, especificamente ondas harmônicas planas. A onda está se propagando em um meio onde a permeabilidade magnética (μ) é igual à do vácuo (μ₀). A gente precisa calcular o vetor de onda k dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas eletromagnéticas são descritas matematicamente, especialmente a relação entre o vetor de onda, a frequência e a velocidade da luz no meio.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do campo elétrico fornecido:
Ex = 0,5 , sin(4pi5 z - 2pi times 10^8 t)
Essa equação está na forma geral de uma onda harmônica plana, que pode ser escrita como:
E = E0 sin(k z - omega t)
Onde:
  • $ E_{0} $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o vetor de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ z $ é a direção de propagação,
  • $ t $ é o tempo.
Comparando as duas equações, podemos identificar:
E0
k

Passo 3

Sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com o vetor de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $ pela relação:
v
Vamos calcular a velocidade da onda usando os valores que encontramos:
k

Passo 4

No vácuo, a velocidade da luz $ c $ é $ 3 \times 10^{8} , m/s $, e a velocidade da onda no meio está relacionada com $ c $ e o índice de refração $ n $ do meio:
c
Vamos rearranjar para encontrar o índice de refração $ n $:
3 times 10^8 , m/s

Passo 5

Agora, sabemos que o vetor de onda $ \vec{k} $ tem direção na direção de propagação da onda e seu módulo é $ k $. Como a onda está se propagando na direção $ z $, o vetor de onda é dado por:
k

Resposta

O vetor de onda é $ \vec{k} = \frac{4\pi}{5} \hat{z} , rad/m $.

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