Uma onda eletromagnética harmônica plana propaga-se num meio
e tem seu campo elétrico dado por (unidades do sistema MKS):
. Calcule:
o vetor de onda
;
Dado:
.
o vetor de onda
Dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre ondas eletromagnéticas, especificamente ondas harmônicas planas. A onda está se propagando em um meio onde a permeabilidade magnética (μ) é igual à do vácuo (μ₀). A gente precisa calcular o vetor de onda k dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas eletromagnéticas são descritas matematicamente, especialmente a relação entre o vetor de onda, a frequência e a velocidade da luz no meio.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do campo elétrico fornecido:
Essa equação está na forma geral de uma onda harmônica plana, que pode ser escrita como:
Onde:
- $ E_{0} $ é a amplitude da onda,
- $ k $ é o vetor de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ z $ é a direção de propagação,
- $ t $ é o tempo.
Comparando as duas equações, podemos identificar:
Passo 3
Sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com o vetor de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $ pela relação:
Vamos calcular a velocidade da onda usando os valores que encontramos:
Passo 4
No vácuo, a velocidade da luz $ c $ é $ 3 \times 10^{8} , m/s $, e a velocidade da onda no meio está relacionada com $ c $ e o índice de refração $ n $ do meio:
Vamos rearranjar para encontrar o índice de refração $ n $:
Passo 5
Agora, sabemos que o vetor de onda $ \vec{k} $ tem direção na direção de propagação da onda e seu módulo é $ k $. Como a onda está se propagando na direção $ z $, o vetor de onda é dado por:
Resposta
O vetor de onda é $ \vec{k} = \frac{4\pi}{5} \hat{z} , rad/m $.