- Um tubo em
é preenchido com um líquido homogêneo. O líquido é temporariamente pressionado por um pistão em um dos lados do tubo. O pistão é removido e o nível do líquido em cada um dos lados passa a oscilar. Mostre que o período de oscilação deste movimento é
, onde
é o comprimento total do líquido no interior do tubo.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra mostrar que um líquido num tubo em U oscila como um MHS (Movimento Harmônico Simples) de período
onde
é o comprimento total da coluna líquida e
a aceleração da gravidade.
Conteúdo: dinâmica (2ª lei de Newton) + MHS.
O que vamos usar:
Conteúdo: dinâmica (2ª lei de Newton) + MHS.
O que vamos usar:
- Modelar um pequeno deslocamento
de um lado do tubo (o outro oscila simetricamente). - Calcular força restauradora (gravidade) que puxa o líquido de volta.
- Identificar que a equação do movimento vira
e daí achar o período .
Passo 2
Definindo o deslocamento: imagine que o líquido subiu de um lado em
e baixou do outro em
.
• Área da seção do tubo: .
• Densidade do líquido: .
• Comprimento total da coluna: .
* O volume deslocado de cada lado é , e a diferença de altura entre as duas colunas é
.
• Área da seção do tubo:
• Densidade do líquido:
• Comprimento total da coluna:
* O volume deslocado de cada lado é
Passo 3
Força restauradora: a pressão extra na coluna mais alta gera um “peso a mais” que puxa o líquido de volta.
Peso equivalente = massa deslocada :
Peso equivalente = massa deslocada
Como essa força tende a reduzir
, escrevemos
Passo 4
Massa total do líquido que está oscilando:
Aplicando a 2ª lei de Newton (tomando eixo positivo no sentido de
):
Cancelando
:
Isso é MHS, com
Passo 5
O período de um MHS é
Resposta
O período de oscilação do líquido no tubo em U é