Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com campo elétrico dado por:
\mathbf{E}=(100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \cdot \cos \left[\left(1.5 \times 10^{7} \mathrm{rad} / \mathrm{m}\right) \mathrm{x} \quad-\right. \left.\left(4.5 \times 10^{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) \mathrm{t}\right] \hat{\mathbf{y}}
a) Determine o vetor de campo magnético associado (Resp: \quad \mathbf{B}=\quad\left(3.33 \times 10^{-7}\right. T) \left.\cdot \cos \left[\left(1.5 \times 10^{7}\right) \mathrm{x} \quad-\quad\left(4.5 \times 10^{15}\right) \mathrm{t}\right] \hat{\mathbf{z}}\right)
b) Calcule o módulo do vetor de Poynting médio (Resp: 13.26 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ) c) Qual a potência que atravessa uma superfície circular de raio 10 cm perpendicular à direção de propagação? (Resp: 0.146 W )

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana no vácuo com campo elétrico
\mathbf{E}=(100\\ \mathrm{V/m})\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{rad/m}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}\right)t\right]\hat{\mathbf{y}}.
O que é pedido:
a) determinar o vetor campo magnético associado \mathbf{B}(\mathbf{r},t);
b) calcular o módulo do vetor de Poynting médio \langle S\rangle (intensidade média);
c) calcular a potência que atravessa uma superfície circular de raio 10\\ \mathrm{cm} perpendicular à direção de propagação.
Informações relevantes dadas (pego diretamente do enunciado):
  • Amplitude do campo elétrico: E_0=100\\ \mathrm{V/m}.
  • Número de onda: k=1{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{rad/m}.
  • Frequência angular: \omega=4{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
  • O campo aponta na direção \hat{\mathbf{y}} e o argumento da coseno mostra propagação no sentido +x (termo kx-\omega t).

Passo 2

Regra física que vamos usar (explicação didática, passo-a-passo):
  • Para uma onda plana no vácuo com vetor de onda \mathbf{k} e campo elétrico \mathbf{E}(\mathbf{r},t), o campo magnético \mathbf{B}(\mathbf{r},t) satisfaz
\mathbf{B}=\frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}.
Explicando isso: para uma onda harmônica, \mathbf{E} e \mathbf{B} oscilam com a mesma fase; a relação acima vem de Maxwell (lembre que em vácuo \mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k} são mutuamente perpendiculares e |\mathbf{k}|/\omega=1/c). Assim podemos escrever de forma útil
\mathbf{B}=\frac{|\mathbf{k}|}{\omega}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui c=\dfrac{\omega}{k}. Vamos calcular c com os números dados para confirmar:
\frac{\omega}{k}=\frac{4{,}5\times10^{15}}{1{,}5\times10^{7}}=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
ou seja c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor esperado). Portanto a relação simplificada é válida.

Passo 3

Determinar a direção de \mathbf{B} (muito didático):
  • O vetor de onda é \mathbf{k}=k\hat{\mathbf{x}} (propagação em +x).
  • O campo elétrico está em \hat{\mathbf{y}}.
  • Usando o produto vetorial \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}.
    Logo \mathbf{B} aponta na direção \hat{\mathbf{z}}.
Calcular a amplitude de \mathbf{B}:
  • Usando \;B_0=E_0/c\; (isto vem de B_0=(k/\omega)E_0 e k/\omega=1/c):
B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{100\\ \mathrm{V/m}}{3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}=3{,}333\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Arredondando para três algarismos significativos: B_0=3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Portanto o campo magnético é
\mathbf{B}=(3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T})\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\right)t\right]\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Agora vamos ao vetor de Poynting e sua média (aula rápida e prática):
  • O vetor de Poynting instantâneo é definido por
\mathbf{S}(t)=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}(t)\times\mathbf{B}(t).
Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Para uma onda harmônica com amplitudes E_0 e B_0 que se mantêm na mesma fase, o valor médio temporal (sobre um período) do módulo do Poynting é
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\frac{E_0 B_0}{\mu_0}.
Outra forma equivalente, usando B_0=E_0/c e \varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2), é
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2.
Ambas são a mesma coisa; usarei a primeira para mostrar os números passo a passo.
Calcular numericamente:
  • Primeiro E_0 B_0 = 100\cdot(3{,}333\ldots\times10^{-7})=3{,}333\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{(V\! \cdot T)/m}.
  • Dividindo por 2\mu_0:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\frac{3{,}333\ldots\times10^{-5}}{1{,}256637\times10^{-6}} =\frac{3{,}333\ldots\times10^{-5}}{2{,}513274\times10^{-6}} \approx13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto a intensidade média é \langle S\rangle\approx13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}. (Excelente — isso bate com o valor de referência que você indicou.)

Passo 5

Potência através de uma superfície circular perpendicular à propagação:
  • A superfície circular tem raio r=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Área da circunferência:
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}10)^{2}=\pi\times0{,}01\\ \mathrm{m^{2}}=0{,}0314159\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A potência média que atravessa essa área (onda incidindo perpendicularmente) é
P=\langle S\rangle A.
Calcular numericamente:
P=13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}\times0{,}0314159\\ \mathrm{m^{2}}\approx0{,}417\\ \mathrm{W}.
(Arredondando, P\approx0{,}42\\ \mathrm{W}.)

Passo 6

Recapitulando de forma curta: encontramos o campo magnético usando a relação entre \mathbf{k},\mathbf{E} e \mathbf{B}, depois calculamos a intensidade média via o vetor de Poynting, e então multiplicamos pela área do círculo. Se algo parecer confuso, respira fundo — essas relações básicas (direção via produto vetorial, B_0=E_0/c, e \langle S\rangle=\tfrac{1}{2}E_0B_0/\mu_0) são as ferramentas-chave que provavelmente vão cair na prova.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{B}=(3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T})\cos\!\left[\left(1{,}5\times10^{7}\right)x-\left(4{,}5\times10^{15}\right)t\right]\hat{\mathbf{z}}
b) \displaystyle \langle S\rangle=13{,}26\\ \mathrm{W/m^{2}}
c) \displaystyle P=\langle S\rangle\! \times\!\pi(0{,}10\\ \mathrm{m})^{2}\approx0{,}417\\ \mathrm{W}

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