Uma onda eletromagnética plana de frequência f propaga-se no vácuo, ao longo do sentido y>0 com velocidade de propagação c. O campo elétrico, polarizado no eixo z, tem amplitude E0 e no instante t=0 é nulo em y=0. Expresse suas respostas apenas em termos de E0, f, c e das constantes universais.
(a) (1,0) Obtenha a expressão para o campo elétrico.
(b) (0,5) A expressão para o campo magnético.
© (1,0) O vetor de Poynting e a energia total carregada pela onda através de uma área A perpendicular à frente de onda durante um intervalo de tempo igual ao período da onda.

Passo 1

Estamos diante de uma onda eletromagnética plana no vácuo de frequência f, propagando-se ao longo de y>0 com velocidade c. O campo elétrico é polarizado ao longo de z, tem amplitude E0 e satisfaz E(z=0,y=0,t=0)=0. Para resolver a questão, vamos usar a forma geral de onda viajante, as relações omega=2pi f, k=omega/c e as equações de Maxwell em vácuo, em particular a relação entre E e B, o vetor de Poynting e a energia transportada.

Passo 2

A forma geral de uma onda viajante no sentido + y de amplitude E0 e fase zero em t=0,y=0 é dada por E0sin(ky-omega t). Usando omega=2pi f e k=2pi f/c, obtemos para o campo elétrico:
$$\n\mathbf E(y,t)=E_0,\sin\bigl(2\pi f\bigl(\tfrac{y}{c}-t\bigr)\bigr),\hat z
$$

Passo 3

No vácuo vale a relação B0=E0/c e a direção de B deve satisfazer S=(1/mu0), Etimes B no sentido + y. Como hat ztimeshat x=hat y, concluímos:
$$\n\mathbf B(y,t)=\frac{E_0}{c},\sin\bigl(2\pi f\bigl(\tfrac{y}{c}-t\bigr)\bigr),\hat x
$$

Passo 4

O vetor de Poynting instantâneo em vácuo é S=(1/mu0), Etimes B. Calculando o produto vetorial e usando mu0c=1/epsilon0c:
$$\n\mathbf S(y,t)=\frac{E_0^2}{\mu_0 c},\sin^2\bigl(2\pi f\bigl(\tfrac{y}{c}-t\bigr)\bigr),\hat y
$$

Passo 5

A energia total transportada através de uma área A em um período T=1/f é U=integral0^T Sy,A,dt. Como a média de sin^2 é 1/2, temos:
$$\nU=\frac{E_0^2}{\mu_0 c},A,\frac{T}{2}=\frac{E_0^2}{2,\mu_0,c,f},A
$$

Resposta

a) E(y,t)=E0,sinl(2pi f(tfrac y c-t)r),hat z
b) B(y,t)=E0c,sinl(2pi f(tfrac y c-t)r),hat x
c) S(y,t)=E0^2mu0 c,sin^2l(2pi f(tfrac y c-t)r),hat y e U=E0^22,mu0,c,f,A.

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