Suponha que o campo elétrico de uma onda eletromagnética plana, propagando-se no vácuo na ausência de cargas e correntes, seja dado pela expressão
E=(i E0+k E1) sin (a z+b t),
onde E0, E1, a e b>0 são constantes.
(a) (1,0) Usando a equação de Maxwell apropriada, determine E1.
(b) (0,5) Partindo da equação de onda satisfeita por E determine a relação entre as constantes a e b.
© (0,5) Obtenha a expressão para o campo magnético B.
(d) (0,5) Determine o vetor de Poynting S e a intensidade da onda.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana no vácuo
E=(iE0+kE1)sin(a z+b t)
E pede (a) usar uma equação de Maxwell para achar E1, (b) usar a equação de onda para relacionar a e b, © achar o campo magnético B e (d) calcular o vetor de Poynting S e a intensidade. Vamos precisar de: a condição de ausência de cargas ( nablacdotE=0), a equação de onda eletromagnética no vácuo, as equações de Maxwell para campos variando no tempo e a definição de S.

Passo 2

Para determinar E1 usamos a equação de Maxwell
nablacdotE=0
No nosso caso
nablacdotE=partial Expartial x+partial Ezpartial z=0
Como Ex=E0sin(az+bt) não depende de x e Ez=E1sin(az+bt), só resta
aE1cos(az+bt)=0
Para todo z,t isso exige E1=0.

Passo 3

A equação de onda no vácuo para cada componente de E é
nabla^2E=mu0varepsilon0partial^2Epartial t^2
Como Ex=E0sin(az+bt), temos
nabla^2Ex=-a^2E0sin(az+bt),
partial^2Expartial t^2=-b^2E0sin(az+bt)
Substituindo
-a^2E0=mu0varepsilon0(-b^2E0)
Logo
b^2=a^2mu0varepsilon0=c^2a^2
Como a,b>0, temos b=ca.

Passo 4

Para achar B usamos a lei de Faraday
nablatimesE=-partialBpartial t
O único componente não nulo do rotacional de E é
(nablatimesE)y=partial Expartial z=aE0cos(az+bt)
Então
-partial Bypartial t=aE0cos(az+bt)
Integrando em t e usando b=ca
By=-aE0bsin(az+bt)=-E0csin(az+bt)
Assim
B=-jE0csin(az+bt)

Passo 5

O vetor de Poynting é
S=1mu0EtimesB
Substituindo
E=iE0sin(az+bt),B=-jE0csin(az+bt)
Temos
EtimesB=itimes(-j),E0^2csin^2(az+bt)=-kE0^2csin^2(az+bt)
Logo
S=-kE0^2mu0csin^2(az+bt)
A intensidade (valor médio) é
I=lang<= Srang<==E0^22mu0c

Resposta

E_1=0
b=ca
B=-jE0csin(az+bt)
S=-kE0^2mu0csin^2(az+bt)
Intensidade: I=E0^22mu0c

Exercícios relacionados