Em uma região do espaço com campo magnético
da forma
, onde
e
são duas constantes. Existe também um campo elétrico
com valor inicial
uniforme. Usando as equações de Maxwell na forma diferencial e assumindo que o vetor densidade de corrente
seja nulo, determine:
(a)
ponto
constante
.
(b) (1,0 ponto) O vetor campo elétrico
.
© ( 0,5 ponto) A densidade de carga do sistema.
(d) (1,0 ponto) Qual das equações de Maxwell não foi utilizada ainda? Verifique que tal equação é satisfeita.
(a)
(b) (1,0 ponto) O vetor campo elétrico
© ( 0,5 ponto) A densidade de carga do sistema.
(d) (1,0 ponto) Qual das equações de Maxwell não foi utilizada ainda? Verifique que tal equação é satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá um campo magnético
, um campo elétrico uniforme
com
e diz que a densidade de corrente
. Vamos usar as quatro equações de Maxwell na forma diferencial para encontrar
,
,
e ver qual lei ainda não usamos.
Passo 2
Para determinar
usamos a lei de Gauss para o magnetismo, que exige que o campo
seja solenoidal:
Como
,
logo
. Agora temos
.
Passo 3
Para achar
usamos a lei de Ampère–Maxwell sem corrente:
Calculemos
Logo
e integrando em
:
Isto é, em componentes:
Passo 4
Para achar a densidade de carga usamos a lei de Gauss para o campo elétrico:
Mas
é uniforme em
, então
e
.
Passo 5
A única equação de Maxwell ainda não usada explicitamente é a lei de Faraday:
Como
não depende de
, o lado direito é zero; e como
ficou uniformemente dependente só de
, temos
. Logo essa lei é satisfeita.
Resposta
(a)
. (b)
. ©
. (d) A lei de Faraday
, que confere
e está satisfeita.