Em uma região do espaço com campo magnético B da forma B(x, y)=(alpha y+beta x) i, onde alpha e beta são duas constantes. Existe também um campo elétrico E(t) com valor inicial E(0)=E0 uniforme. Usando as equações de Maxwell na forma diferencial e assumindo que o vetor densidade de corrente J seja nulo, determine:
(a) (0,5 ponto ) A constante beta.
(b) (1,0 ponto) O vetor campo elétrico E(t).
© ( 0,5 ponto) A densidade de carga do sistema.
(d) (1,0 ponto) Qual das equações de Maxwell não foi utilizada ainda? Verifique que tal equação é satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético vec B(x,y)=(alpha y+beta x),vec i, um campo elétrico uniforme vec E(t) com vec E(0)=vec E0 e diz que a densidade de corrente vec J=0. Vamos usar as quatro equações de Maxwell na forma diferencial para encontrar beta, vec E(t), rho e ver qual lei ainda não usamos.

Passo 2

Para determinar beta usamos a lei de Gauss para o magnetismo, que exige que o campo vec B seja solenoidal:
nablacdotvec B=0
Como vec B=(alpha y+beta x),vec i,
nablacdotvec B=partialpartial x(alpha y+beta x)=beta,
logo beta=0. Agora temos vec B=alpha y,vec i.

Passo 3

Para achar vec E(t) usamos a lei de Ampère–Maxwell sem corrente:
nablatimesvec B=mu0,varepsilon0,partialvec Epartial t
Calculemos
nablatimesvec B=l(0,0,partial Bypartial x-partial Bxpartial yr)=l(0,0,0-alphar)=-alpha,vec k
Logo
-alpha,vec k=mu0,varepsilon0,dvec Edt
e integrando em t:
vec E(t)=vec E(0)-alphamu0,varepsilon0,t,vec k
Isto é, em componentes:
vec E(t)=E0x,vec i+E0y,vec j+l(E0z-alphamu0,varepsilon0,tr),vec k

Passo 4

Para achar a densidade de carga usamos a lei de Gauss para o campo elétrico:
nablacdotvec E=rhovarepsilon0
Mas vec E é uniforme em x,y,z, então nablacdotvec E=0 e rho=0.

Passo 5

A única equação de Maxwell ainda não usada explicitamente é a lei de Faraday:
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t
Como vec B não depende de t, o lado direito é zero; e como vec E ficou uniformemente dependente só de t, temos nablatimesvec E=0. Logo essa lei é satisfeita.

Resposta

(a) beta=0. (b) vec E(t)=E0x,vec i+E0y,vec j+l(E0z-alphamu0varepsilon0,tr),vec k. © rho=0. (d) A lei de Faraday nablatimesvec E=-partialvec B/partial t, que confere 0=0 e está satisfeita.

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