(2,0) Uma onda eletromagnética plana e harmônica possui a função de onda do campo elétrico dada por
\vec{E}=300 \sin \left(10 x-10^{9} t\right) \hat{j}
enquanto do campo magnético é dado por
\vec{B}=10^{-6} \sin \left(10 x-10^{9} t\right) \hat{i}
a) Obtenha o vetor de Poyting
b) Calcule a intensidade da onda

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana, viajando segundo a direção x, com campos
\vec{E}(x,t)=300\sin\bigl(10x-10^{9}t\bigr)\,\hat{\jmath}
e
\vec{B}(x,t)=10^{-6}\sin\bigl(10x-10^{9}t\bigr)\,\hat{\imath}.
Pede-se (a) o vetor de Poynting \vec{S} e (b) a intensidade média da onda. Vamos usar a definição de Poynting para ondas no vácuo e a relação entre intensidade e valor pico dos campos.

Passo 2

No vácuo, o vetor de Poynting é dado por
\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\vec{E}\times\vec{B},
onde \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\vec{E}\times\vec{B} = \bigl[300\sin\varphi\,\hat{\jmath}\bigr]\times\bigl[10^{-6}\sin\varphi\,\hat{\imath}\bigr] =300\cdot10^{-6}\,\sin^2\varphi\;(\hat{\jmath}\times\hat{\imath}),
sendo \varphi=10x-10^{9}t. Como \hat{\jmath}\times\hat{\imath}=-\,\hat{k}, vem
\vec{E}\times\vec{B}=-3\times10^{-4}\,\sin^2\bigl(10x-10^{9}t\bigr)\,\hat{k}.

Passo 4

Substituindo em \vec{S}, obtemos
\vec{S} =\frac{1}{\mu_0}\bigl(\vec{E}\times\vec{B}\bigr) =-\frac{3\times10^{-4}}{\mu_0}\,\sin^2\bigl(10x-10^{9}t\bigr)\,\hat{k} \quad\bigl[\mathrm{W/m^2}\bigr].
Este é o vetor de Poynting instantâneo.

Passo 5

A intensidade da onda é a média temporal da componente de \vec{S} ao longo da direção de propagação. Como \langle\sin^2\varphi\rangle=1/2, e tomando magnitude,
I = \left\langle\bigl|\vec{S}\bigr|\right\rangle =\frac{3\times10^{-4}}{\mu_0}\times\frac{1}{2} =\frac{3\times10^{-4}}{2\,(4\pi\times10^{-7})}.
Calculando numericamente,
I\approx\frac{3\times10^{-4}}{8\pi\times10^{-7}} =\frac{3}{8\pi}\times10^{3}\approx1{,}19\times10^{2}\,\mathrm{W/m^2}.

Resposta

a) \displaystyle \vec{S}=-\frac{3\times10^{-4}}{\mu_0}\,\sin^2\bigl(10x-10^{9}t\bigr)\,\hat{k}
b) \displaystyle I=\frac{3\times10^{-4}}{2\,\mu_0}\approx1{,}2\times10^{2}\,\mathrm{W/m^2}.

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