Em unidades do SI, o campo elétrico em uma onda eletromagnética é descrito por:
E_{y}=100 \sin \left(1,0 \times 10^{7} x-\omega t\right)
Encontre:
(a) a amplitude de oscilação do campo magnético correspondente
(b) o comprimento de onda \lambda
(c) a frequência f

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte expressão para o campo elétrico (em unidades SI):
E_{y}=100\sin\!\left(1,0\times10^{7}x-\omega t\right).
O que temos explicitamente:
  • Amplitude do campo elétrico: \;E_{0}=100\\ \mathrm{V\,m^{-1}} (este número foi retirado do fator multiplicativo antes do seno).
  • O número que multiplica x dentro do seno é \;k=1,0\times10^{7}\\ \mathrm{rad\,m^{-1}} (este valor foi retirado da expressão dentro do seno).
  • A frequência angular \omega aparece no enunciado, mas não foi dada numericamente; será obtida a partir da relação de dispersão para ondas eletromagnéticas em vácuo.
O enunciado pede três quantidades:
(a) a amplitude do campo magnético correspondente ( B_{0});
(b) o comprimento de onda \lambda;
(c) a frequência f.

Passo 2

Relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda.
Definição e significado: o número de onda angular \;k está relacionado ao comprimento de onda \lambda pela fórmula
k=\frac{2\pi}{\lambda},
onde:
  • \;k é o número de onda angular em \mathrm{rad\,m^{-1}},
  • \;\lambda é o comprimento de onda em \mathrm{m}.
Isolando \lambda obtém-se
\lambda=\frac{2\pi}{k}.

Passo 3

Cálculo numérico do comprimento de onda \lambda.
Substituindo k=1,0\times10^{7}\\ \mathrm{rad\,m^{-1}}:
\lambda=\frac{2\pi}{1,0\times10^{7}}.
Avaliação numérica: 2\pi\approx6,2831853, portanto
\lambda \approx \frac{6,2831853}{1,0\times10^{7}}=6,2831853\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
\lambda \approx 6,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
o que corresponde a 628\\ \mathrm{nm} (visível).

Passo 4

Relação entre \omega, k e a velocidade de propagação c.
Para uma onda eletromagnética plana no vácuo, a relação de dispersão é
\omega = c\,k,
onde \;c é a velocidade da luz no vácuo. Em SI usa-se \;c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Cálculo de \omega e da frequência f.
Calcule \omega:
\omega = c\,k = \left(3,00\times10^{8}\right)\left(1,0\times10^{7}\right)=3,00\times10^{15}\\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.
A frequência f está relacionada com \omega por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Portanto
f=\frac{3,00\times10^{15}}{2\pi}.
Avaliação numérica: 2\pi\approx6,2831853, então
f\approx\frac{3,00\times10^{15}}{6,2831853}=4,775\ldots\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
f\approx4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Relação entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético.
Em uma onda eletromagnética plana no vácuo os módulos dos campos elétrico e magnético estão ligados por
E_{0}=c\,B_{0},
onde:
  • \;E_{0} é a amplitude do campo elétrico (em \mathrm{V\,m^{-1}}),
  • \;B_{0} é a amplitude do campo magnético (em \mathrm{T}),
  • \;c é a velocidade da luz em \mathrm{m\,s^{-1}}.
Isolando B_{0}:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.

Passo 7

Cálculo numérico da amplitude do campo magnético B_{0}.
Substituindo E_{0}=100\\ \mathrm{V\,m^{-1}} e c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}:
B_{0}=\frac{100}{3,00\times10^{8}}=\frac{1,00\times10^{2}}{3,00\times10^{8}}=\left(\frac{1,00}{3,00}\right)\times10^{-6}.
Calculando \dfrac{1,00}{3,00}\approx0,333333, então
B_{0}\approx3,33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Resumo numérico (valores finais arredondados com 3 algarismos significativos).
  • Comprimento de onda: \lambda\approx6,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m} ( 628\\ \mathrm{nm}).
  • Frequência: f\approx4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitude do campo magnético: B_{0}\approx3,33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

(a) B_{0}=3,33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}
(b) \lambda=6,28\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
(c) f=4,77\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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