Para uma onda eletromagnética plana se propagando no sentido +x, o vetor de Poynting é dado por \boldsymbol{S}(x, t)=\left(E_{m} B_{m} / 2 \mu_{0}\right)[1-\cos 2(\omega t-k x)] \boldsymbol{\hat { \imath }}. Em algum instante S(x, t) pode assumir valores negativos correspondendo a um fluxo de energia contrário ao sentido de propagação da onda? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá o vetor de Poynting instantâneo de uma onda plana propagando-se em +x,
\boldsymbol{S}(x,t)=\frac{E_{m}B_{m}}{2\mu_{0}}\bigl[1-\cos2(\omega t - kx)\bigr]\boldsymbol{\hat\imath}.
A questão pergunta se em algum instante S(x,t) pode ficar negativo, isto é, se pode haver fluxo de energia no sentido -x.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica
1-\cos2\varphi = 2\sin^2\varphi
com \varphi=\omega t - kx. Então
S(x,t)=\frac{E_{m}B_{m}}{2\mu_{0}}\;2\sin^2(\omega t - kx) =\frac{E_{m}B_{m}}{\mu_{0}}\sin^2(\omega t - kx).

Passo 3

Como sempre \sin^2(\omega t - kx)\ge0, temos
S(x,t)\ge0\quad\forall\,x,t.
O valor mínimo é zero (quando \sin(\omega t - kx)=0) e o máximo é \displaystyle E_{m}B_{m}/\mu_{0}. Nunca surge valor negativo, pois para uma onda plana em espaço livre \boldsymbol{E} e \boldsymbol{B} estão em fase e não há “energia reativa” reversa.

Resposta

Não. Como
S(x,t)=\frac{E_{m}B_{m}}{\mu_{0}}\sin^2(\omega t - kx)\ge0,
o fluxo instantâneo de energia nunca aponta ao sentido -x.

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