Se um fluxo uniforme \Phi_{E} através de um anel circular plano decresce com o tempo, o campo magnético induzido (visto segundo o sentido de \boldsymbol{E} ) será horário ou anti-horário? Faz alguma diferença (a) se o campo elétrico é uniforme ou (b) se o plano do anel é perpendicular ao campo elétrico?

Passo 1

O enunciado diz que temos um anel circular plano e um fluxo elétrico \Phi_{E} através dele que decresce com o tempo \dot\Phi_{E}<0. Queremos saber o sentido do campo magnético induzido visto do lado para o qual o vetor campo elétrico \boldsymbol{E} aponta, e como as hipóteses (a) de uniformidade de \boldsymbol{E} e (b) de o plano do anel ser perpendicular a \boldsymbol{E} influenciam o resultado. Vamos usar a forma integral da lei de Ampère–Maxwell.

Passo 2

A lei de Ampère–Maxwell em regime de vácuo, sem corrente de condução, é
\oint_{\mathcal{C}}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\!\int_{S}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{A} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\dot\Phi_{E}\,,
onde \mathcal{C} é a circunferência do anel e S a superfície por ela delimitada.

Passo 3

Escolhemos a orientação positiva de \mathcal{C} segundo a regra da mão direita: o polegar aponta na direção de \boldsymbol{E} (ou do vetor normal à superfície S), e os dedos enrolam na direção positiva de d\boldsymbol{\ell}. Sob essa convenção, se \dot\Phi_{E}<0, o lado direito da lei dá \oint\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}<0, ou seja, \boldsymbol{B} circula no sentido oposto à circulação positiva.

Passo 4

Vendo o anel “pelo lado de \boldsymbol{E}”, a circulação positiva é anti-horária (pela regra da mão direita). Como \dot\Phi_{E}<0 inverte o sinal, o campo magnético induzido circula, visto desse lado, no sentido horário.

Passo 5

(a) Se \boldsymbol{E} não for uniforme, o que importa na lei de Ampère–Maxwell é o fluxo \Phi_{E}=\int_{S}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{A}. Mesmo que \boldsymbol{E} varie sobre S, a variação temporal de \Phi_{E} continua determinando a circulação de \boldsymbol{B}. Logo, a uniformidade de \boldsymbol{E} não muda o sentido (horário), apenas o valor de \dot\Phi_{E}.

Passo 6

(b) Se o plano do anel for perfeitamente perpendicular a \boldsymbol{E}, então \Phi_{E}=E\,A e a variação é máxima. Se não for perpendicular, só a componente normal \boldsymbol{E}\cdot\hat{\boldsymbol{n}} contribui para o fluxo, diminuindo \Phi_{E} mas sem inverter seu sinal. Portanto, enquanto existir \dot\Phi_{E}<0, o sentido permanece horário. No caso extremo de plano paralelo a \boldsymbol{E}, \Phi_{E}=0 e não há indução de \boldsymbol{B}.

Resposta

O campo magnético induzido circula, visto do lado para o qual \boldsymbol{E} aponta, no sentido horário.
(a) A uniformidade de \boldsymbol{E} não altera esse sentido, apenas o valor da indução.
(b) O plano do anel só altera a magnitude do fluxo (e, portanto, da indução); o sentido permanece horário enquanto \dot\Phi_{E}<0.

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