Uma onda eletromagnética plana propagando-se no vácuo na direção do eixo
tem apenas a componente
do campo elétrico e a componente
do campo magnético. Essas componentes satisfazem as equações de Maxwell
onde
é a permissividade do vácuo e
a permeabilidade do vácuo.
No instante
o campo elétrico é dado por
onde
e
são constantes. Sabendo-se que a onda se propaga no sentido negativo do eixo
, escreva a expressão de
para qualquer tempo
. Mostre que essa expressão satisfaz a equação de onda obtida no item (a).
No instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente tem uma onda que se propaga na direção do eixo $ x $ e só tem componente $ y $ do campo elétrico $ E_y $ e componente $ z $ do campo magnético $ B_z $. A matéria envolve as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas. Para resolver, vamos precisar entender essas equações e como elas se relacionam com a propagação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell que a gente vai usar:
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ \mu_0 $ a permeabilidade do vácuo. Essas equações nos dizem como os campos elétrico e magnético estão relacionados e como eles variam no espaço e no tempo.
Passo 3
A gente sabe que uma onda que se propaga pode ser descrita por uma função que depende de $ x $ e $ t $. O enunciado fornece a expressão inicial do campo elétrico no tempo $ t = 0 $:
Aqui, $ E_0 $ é a amplitude da onda e $ k $ é o número de onda. A onda está se movendo na direção negativa do eixo $ x $, o que vai influenciar a forma da função no tempo.
Passo 4
Para encontrar a expressão de $ E_y $ para qualquer tempo $ t $, vamos supor que a solução tem a forma de uma função que se move com a velocidade da luz $ c $ no vácuo. Sabemos que $ c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} $.
Então, a solução geral para uma onda que se propaga na direção negativa de $ x $ é:
Onde $ \omega $ é a frequência angular da onda. A gente adiciona $ \omega t $ porque a onda está indo para o lado negativo.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar $ \omega $ e $ k $. Sabemos que a relação entre a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ é dada por:
Substituindo $ c $ por $ \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} $, temos:
Passo 6
Vamos agora escrever a expressão de $ E_y $ substituindo $ \omega $:
Isso descreve como o campo elétrico varia no espaço e no tempo para a onda que se propaga na direção negativa de $ x $.
Passo 7
Para mostrar que essa expressão satisfaz a equação de onda, vamos derivar $ E_y $ em relação a $ x $ e $ t $ e substituir nas equações de Maxwell.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Agora, substituímos na primeira equação de Maxwell:
E na segunda equação:
Integrando essas relações, vemos que nossa expressão de $ E_y $ está de acordo com as equações de Maxwell, confirmando que a solução encontrada é válida.
Resposta
A expressão de $ E_{y} $ para qualquer tempo $ t $ é: