Uma onda eletromagnética plana propagando-se no vácuo na direção do eixo x tem apenas a componente y do campo elétrico e a componente z do campo magnético. Essas componentes satisfazem as equações de Maxwell
partial Eypartial x=-partial Bzpartial t, partial Bzpartial x=-epsilon0 mu0 partial Eypartial t
onde epsilon0 é a permissividade do vácuo e mu0 a permeabilidade do vácuo.
No instante t=0 o campo elétrico é dado por
Ey(x, t=0)=E0 sen k x
onde E0 e k são constantes. Sabendo-se que a onda se propaga no sentido negativo do eixo x, escreva a expressão de Ey para qualquer tempo t. Mostre que essa expressão satisfaz a equação de onda obtida no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente tem uma onda que se propaga na direção do eixo $ x $ e só tem componente $ y $ do campo elétrico $ E_y $ e componente $ z $ do campo magnético $ B_z $. A matéria envolve as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas. Para resolver, vamos precisar entender essas equações e como elas se relacionam com a propagação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell que a gente vai usar:
partial Eypartial x = -partial Bzpartial t
partial Bzpartial x = -epsilon0 mu0 partial Eypartial t
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ \mu_0 $ a permeabilidade do vácuo. Essas equações nos dizem como os campos elétrico e magnético estão relacionados e como eles variam no espaço e no tempo.

Passo 3

A gente sabe que uma onda que se propaga pode ser descrita por uma função que depende de $ x $ e $ t $. O enunciado fornece a expressão inicial do campo elétrico no tempo $ t = 0 $:
x
Aqui, $ E_0 $ é a amplitude da onda e $ k $ é o número de onda. A onda está se movendo na direção negativa do eixo $ x $, o que vai influenciar a forma da função no tempo.

Passo 4

Para encontrar a expressão de $ E_y $ para qualquer tempo $ t $, vamos supor que a solução tem a forma de uma função que se move com a velocidade da luz $ c $ no vácuo. Sabemos que $ c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} $.
Então, a solução geral para uma onda que se propaga na direção negativa de $ x $ é:
Ey
Onde $ \omega $ é a frequência angular da onda. A gente adiciona $ \omega t $ porque a onda está indo para o lado negativo.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar $ \omega $ e $ k $. Sabemos que a relação entre a frequência angular $ \omega $ e o número de onda $ k $ é dada por:
omega
Substituindo $ c $ por $ \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} $, temos:
k

Passo 6

Vamos agora escrever a expressão de $ E_y $ substituindo $ \omega $:
Ey
Isso descreve como o campo elétrico varia no espaço e no tempo para a onda que se propaga na direção negativa de $ x $.

Passo 7

Para mostrar que essa expressão satisfaz a equação de onda, vamos derivar $ E_y $ em relação a $ x $ e $ t $ e substituir nas equações de Maxwell.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Ey
x
Agora, substituímos na primeira equação de Maxwell:
t
E na segunda equação:
partial Eypartial x = E0 k cos(kx + omega t)
Integrando essas relações, vemos que nossa expressão de $ E_y $ está de acordo com as equações de Maxwell, confirmando que a solução encontrada é válida.

Resposta

A expressão de $ E_{y} $ para qualquer tempo $ t $ é:
Ey

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