Uma onda eletromagnética plana, que se propaga no vácuo com velocidade c=3.10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, varia senoidalmente com período de 10 ns à medida que se propaga ao longo do sentido positivo de x . O valor máximo do campo magnético é de 610^{-12} \mathrm{~T} e está dirigido ao longo do eixo z.
(a) Qual o comprimento de onda, frequência e o valor máximo do campo elétrico da onda? (Resp: \lambda=3 m^{-1} E_{m}=18.10^{-4} \mathrm{~V} / \mathrm{m} )
(b) Quais os componentes dos vetores \vec{E}, \vec{B} e \vec{S} ?
(c) Ache a potência média por unidade de área transportada por essa onda através do espaço. (Resp: 4,299.10^{-9} W / m^{2} )
(d) Que pressão de radiação essa onda deve exercer sobre uma superfície perfeitamente refletora sob incidência normal? (Resp: 2,866.10^{-17} N / m^{2} )

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo ao longo do sentido positivo de x, com as seguintes informações:
c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad T=10\\ \mathrm{ns}=10\times10^{-9}\\ \mathrm{s},\qquad B_{m}=6\times10^{-12}\\ \mathrm{T},
e o campo magnético máximo está dirigido ao longo do eixo z. A onda varia senoidalmente no tempo e no espaço (onda harmônica) e se propaga no sentido +x.
O enunciado faz as seguintes perguntas:
(a) Qual o comprimento de onda \lambda, a freqüência f e o valor máximo do campo elétrico E_{m}?
(b) Quais os componentes dos vetores \vec{E},\\ \vec{B} e \vec{S} (escrever as expressões espaciais e temporais)?
(c) Ache a potência média por unidade de área (valor médio do vetor de Poynting) transportada pela onda.
(d) Que pressão de radiação essa onda exerce sobre uma superfície perfeitamente refletora, incidindo normalmente?

Passo 2

Calcular a frequência f e o comprimento de onda \lambda.
Definições e fórmulas:
f=\frac{1}{T},\qquad \lambda=\frac{c}{f}.
Cálculo passo a passo:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{10\times10^{-9}\\ \mathrm{s}}=1\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}.
\lambda=\frac{c}{f}=\frac{3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{1\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}}=3\\ \mathrm{m}.
Explicação didática rápida: a frequência é o inverso do período; a velocidade da onda relaciona-se com frequência e comprimento de onda por c=\lambda f. Aqui T é muito pequeno (nanosegundos), daí uma frequência relativamente alta e \lambda na escala de metros.

Passo 3

Determinar o valor máximo do campo elétrico E_{m} a partir de B_{m}.
Conceito importante: para uma onda eletromagnética plana no vácuo os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e ligados por
E_{m}=c\,B_{m}.
Aqui c é a velocidade da luz, B_{m} o módulo máximo do campo magnético e E_{m} o módulo máximo do campo elétrico. Essa relação vem de E=cB válida para ondas planas em vácuo.
Cálculo numérico:
E_{m}=c\,B_{m}=(3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})\times(6\times10^{-12}\\ \mathrm{T})=1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}.
Observação prática: escrever 1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m} também pode ser dado como 18\times10^{-4}\\ \mathrm{V/m} (mesma coisa).

Passo 4

Escrever as expressões vetoriais de \vec{E} e \vec{B}, escolhendo a fase padrão e as direções (componentes).
Escolha de forma de onda harmônica (convencional) que se propaga no sentido +x:
\vec{E}(x,t)=E_{m}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{y},
\vec{B}(x,t)=B_{m}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{z}.
Justificativa das direções:
  • O enunciado informou que \vec{B} está ao longo de z, então escrevemos \vec{B} com \hat{z}.
  • Para que o vetor de Poynting \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B} aponte para +x (propagação no sentido +x), devemos ter \vec{E} ao longo de \hat{y} com sinal tal que \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}. Assim a escolha \vec{E} ao longo de \hat{y} é consistente.
  • As grandezas k e \omega são o número de onda e a frequência angular:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m},\qquad \omega=2\pi f=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação didática: a forma \cos(kx-\omega t) descreve uma onda que se desloca para +x. O produto vetorial \vec{E}\times\vec{B} dá a direção de propagação (regra da mão direita).

Passo 5

Escrever o vetor de Poynting instantâneo \vec{S}(x,t) e interpretar.
Definição:
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}.
Substituindo as expressões de \vec{E} e \vec{B}:
\vec{S}(x,t)=\frac{1}{\mu_{0}}E_{m}B_{m}\cos^{2}\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{x}.
Comentário: aqui \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, com valor \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. O sinal positivo em \hat{x} confirma que a energia é transportada para +x.

Passo 6

Calcular a potência média por unidade de área (valor médio temporal do módulo de \vec{S}).
Conceito: para uma função harmônica \cos^{2} a média temporal é \langle\cos^{2}\rangle=1/2. Assim a média temporal de \vec{S} em módulo é
\langle S\rangle=\frac{1}{\mu_{0}}E_{m}B_{m}\langle\cos^{2}\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}}E_{m}B_{m}.
Substituindo os valores numéricos passo a passo:
E_{m}B_{m}=(1,8\times10^{-3}\,\mathrm{V/m})\times(6\times10^{-12}\,\mathrm{T})=1,08\times10^{-14}.
2\mu_{0}=2\times(4\pi\times10^{-7})=8\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}=2,51328\times10^{-6}.
\langle S\rangle=\frac{1,08\times10^{-14}}{2,51328\times10^{-6}}=4,299\times10^{-9}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: esse número é a potência média que atravessa cada metro quadrado normal à direção de propagação — bem pequeno aqui, porque os campos máximos são muito pequenos.

Passo 7

Calcular a pressão de radiação sobre uma superfície perfeitamente refletora, incidência normal.
Fórmula física: a pressão de radiação p exercida por uma onda incidente normalmente sobre uma superfície perfeitamente refletora é
p=\frac{2\langle S\rangle}{c}.
Explicação: a intensidade \langle S\rangle transporta momento por unidade de tempo e área; para reflexão perfeita o impulso transferido é o dobro do caso absorção (o fóton inverte a componente normal do momento), daí o fator 2.
Cálculo numérico:
p=\frac{2\times(4,299\times10^{-9}\\ \mathrm{W/m^{2}})}{3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}=\frac{8,598\times10^{-9}}{3\times10^{8}}=2,866\times10^{-17}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Comentário final: a pressão obtida é extremamente pequena — típico de ondas eletromagnéticas fracas.

Resposta

(a) \lambda=3\\ \mathrm{m},\qquad f=1\times10^{8}\\ \mathrm{Hz},\qquad E_{m}=1,8\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}.
(b) \displaystyle \vec{E}(x,t)=E_{m}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{y},\qquad \vec{B}(x,t)=B_{m}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{z}, \
\displaystyle k=\frac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m},\\ \omega=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}, \
\displaystyle \vec{S}(x,t)=\frac{E_{m}B_{m}}{\mu_{0}}\cos^{2}\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{x}.
(c) \langle S\rangle=4,299\times10^{-9}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
(d) p=\dfrac{2\langle S\rangle}{c}=2,866\times10^{-17}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

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