Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude Em e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Ex=0 ; Ey=Em sen(k x-omega t) ; Ez=0
Mostre que nabla cdot E=0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que o enunciado manda. Temos uma onda eletromagnética no vácuo (sem cargas nem correntes) com frequência angular omega e número de onda k. O campo elétrico dela é
O tema aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o operador divergente aplicado a um campo elétrico: queremos mostrar que
Ex = 0, Ey = Em ,sen(kx - omega t), Ez = 0
Para isso, a gente vai usar a definição de divergência em coordenadas cartesianas e calcular passo a passo.

Passo 2

Definição de divergência em coordenadas cartesianas:
vecnablacdotvec E = partial Expartial x ;+;partial Eypartial y ;+;partial Ezpartial z
Ou seja, basta derivar cada componente do campo em relação à sua variável.

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. partial Expartial x = partial (0)partial x = 0

  2. Aqui note que partial Eypartial y = partial l(Em sen(kx - omega t)r)partial y depende só de Ey e de x, não de t. Toda vez que você deriva algo em que a variável nem aparece, o resultado é zero. Então y
    3) partial Eypartial y = 0

Passo 4

Agora somamos os três resultados:
vecnablacdotvec E = 0 + 0 + 0 = 0
Pronto, verificamos direitinho que a divergência do campo é zero, como esperado para ondas eletromagnéticas no vácuo (isso é coerente com a equação de Maxwell nablacdot E=0 quando não há carga).

Resposta

boxedvecnablacdotvec E = 0

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