Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular
e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude
e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir rapidinho o que o enunciado manda. Temos uma onda eletromagnética no vácuo (sem cargas nem correntes) com frequência angular
e número de onda
. O campo elétrico dela é
O tema aqui é cálculo vetorial, mais precisamente o operador divergente aplicado a um campo elétrico: queremos mostrar que
Para isso, a gente vai usar a definição de divergência em coordenadas cartesianas e calcular passo a passo.
Passo 2
Definição de divergência em coordenadas cartesianas:
Ou seja, basta derivar cada componente do campo em relação à sua variável.
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
-
Aqui note quedepende só de e de , não de . Toda vez que você deriva algo em que a variável nem aparece, o resultado é zero. Então
3)
Passo 4
Agora somamos os três resultados:
Pronto, verificamos direitinho que a divergência do campo é zero, como esperado para ondas eletromagnéticas no vácuo (isso é coerente com a equação de Maxwell
quando não há carga).