Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular \omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude E_{m} e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
E_{x}=0 ; E_{y}=E_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t) ; E_{z}=0
(a) Mostre que o vetor campo elétrico é solução da equação da onda.
(b) Mostre que \vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0.
(c) A partir da equação de Faraday \vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} encontre as componentes do vetor campo magnético.
(d) Determine o vetor de Poyinting \vec{S}.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética no vácuo com frequência angular \omega e número de onda k. O campo elétrico tem amplitude E_{m} e componentes, num certo instante:
E_{x}=0,\qquad E_{y}=E_{m}\sin(kx-\omega t),\qquad E_{z}=0.
As perguntas são:
(a) Mostrar que esse vetor campo elétrico é solução da equação da onda no vácuo.
(b) Mostrar que \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0.
(c) Usando \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} (equação de Faraday) encontrar as componentes do campo magnético \vec{B}.
(d) Determinar o vetor de Poynting \vec{S}.

Passo 2

Entendendo a equação da onda no vácuo e como testá-la. A equação da onda vetorial para \vec{E}(\vec{r},t) no vácuo pode ser escrita como
\label{onda} \nabla^{2}\vec{E}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=\vec{0},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui \nabla^{2} é o Laplaciano vetorial aplicado componente a componente; ou seja, aplicamos o operador escalar \nabla^{2}=\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2} a cada componente de \vec{E}. Vou checar a equação componente a componente para o campo dado. Primeiro calculo as derivadas necessárias da componente não-nula E_{y}=E_{m}\sin(kx-\omega t).
  • Derivada segunda em x:
\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(E_{m}k\cos(kx-\omega t)\bigr) =E_{m}k^{2}\bigl(-\sin(kx-\omega t)\bigr)=-k^{2}E_{y}.
Explicando a conta: \partial_x \sin(kx-\omega t)=k\cos(kx-\omega t) e uma segunda derivada traz outro fator k e muda \sin para -\sin.
  • Derivada segunda em t:
\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-E_{m}\omega\cos(kx-\omega t)\bigr) =-E_{m}\omega^{2}\bigl(-\sin(kx-\omega t)\bigr)=-\omega^{2}E_{y}.
Aqui \partial_t \sin(kx-\omega t)=-\omega\cos(kx-\omega t) e a segunda derivada dá o coeficiente -\omega^{2}.
As outras componentes E_{x} e E_{z} são identicamente zero, então suas segundas derivações espaciais e temporais são zero. Agora aplico \nabla^{2} e \partial_t^2 ao vetor:
\nabla^{2}\vec{E}=(0,\partial_x^2 E_{y},0)=(0,-k^{2}E_{y},0),
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=(0,\partial_t^2 E_{y},0)=(0,-\omega^{2}E_{y},0).
Substituindo na equação \eqref{onda} obtemos componente y:
-k^{2}E_{y}-\frac{1}{c^{2}}(-\omega^{2}E_{y})=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(-k^{2}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\right)E_{y}=0.
Para que isso seja verdade para todo x,t (isto é, para E_{y}\neq 0), precisamos da relação de dispersão
\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=k^{2}\quad\text{ou}\quad \omega=ck.
Essa relação é exatamente a relação física entre \omega e k para ondas eletromagnéticas no vácuo. Conclusão: com \omega=ck a expressão dada satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Cálculo do divergente de \vec{E}. O divergente é
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}.
Aqui E_{x}=0 e E_{z}=0, então \partial_{x}E_{x}=0 e \partial_{z}E_{z}=0. A componente E_{y}=E_{m}\sin(kx-\omega t) depende apenas de x e t, não de y; portanto \partial_{y}E_{y}=0. Assim
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0+0+0=0.
Isto também é consistente com a equação de Maxwell no vácuo \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 quando não há cargas livres.

Passo 4

Calcular \vec{\nabla}\times\vec{E} para usar a equação de Faraday \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}. A fórmula do rotacional em componentes é
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{x}=\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z},
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x},
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{z}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}.
Substituindo E_{x}=0, E_{z}=0 e E_{y}=E_{m}\sin(kx-\omega t) obtemos:
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{x}=0-0=0,
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{y}=0-0=0,
(\vec{\nabla}\times\vec{E})_{z}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(E_{m}\sin(kx-\omega t)\bigr)=kE_{m}\cos(kx-\omega t).
Logo
\vec{\nabla}\times\vec{E}=(0,0,kE_{m}\cos(kx-\omega t)).

Passo 5

Usar a equação de Faraday para achar \vec{B}. A equação é
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Daí
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\vec{\nabla}\times\vec{E}=(0,0,-kE_{m}\cos(kx-\omega t)).
Isto significa que apenas a componente B_{z} tem derivada temporal não-nula; as componentes B_{x} e B_{y} têm derivada temporal zero e, se assumirmos que não há campos magnéticos estáticos adicionados, podemos tomar B_{x}=0 e B_{y}=0. Integro a equação para B_{z} com respeito ao tempo:
\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-kE_{m}\cos(kx-\omega t)
\Rightarrow\quad B_{z}(x,t)= -kE_{m}\int \cos(kx-\omega t)\,dt + g(x),
onde g(x) é uma “constante” de integração (função de x somente). Fazendo a integral:
\int \cos(kx-\omega t)\,dt = -\frac{1}{\omega}\sin(kx-\omega t),
portanto
B_{z}(x,t)=\frac{k}{\omega}E_{m}\sin(kx-\omega t)+g(x).
Para obter a solução de onda viajante esperada e compatível com as equações de Maxwell no vácuo (e sem campos magnéticos estáticos adicionais), escolhemos g(x)=0. Além disso, usando a relação de dispersão \omega=ck (obtida no Passo 2), temos \dfrac{k}{\omega}=\dfrac{1}{c}. Assim a componente magnética final é
B_{x}=0,\qquad B_{y}=0,\qquad B_{z}=\frac{E_{m}}{c}\sin(kx-\omega t).
Verificação rápida: derivando temporalmente B_{z} obtemos \partial_t B_{z}=(E_{m}/c)(- \omega)\cos(kx-\omega t)= -kE_{m}\cos(kx-\omega t), que reproduz exatamente a equação anterior; e \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 também é satisfeito aqui.
Observação física (curta): a magnitude do campo magnético é |\vec{B}|=E_{m}/c\sin(\dots), ou seja, E e B têm a mesma fase e razão de amplitudes E_{m}/B_{m}=c.

Passo 6

Calcular o vetor de Poynting \vec{S}. Em unidades SI o vetor de Poynting instantâneo é definido por
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. Primeiro faço o produto vetorial. Com \vec{E}=(0,E_{m}\sin\varphi,0) e \vec{B}=(0,0,(E_{m}/c)\sin\varphi) onde \varphi=kx-\omega t, temos
\vec{E}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\[2pt] 0 & E_{m}\sin\varphi & 0\\[2pt] 0 & 0 & \dfrac{E_{m}}{c}\sin\varphi\end{vmatrix} =\hat{x}\bigl(E_{m}\sin\varphi\cdot \tfrac{E_{m}}{c}\sin\varphi\bigr) =\hat{x}\frac{E_{m}^{2}}{c}\sin^{2}\varphi.
Multiplicando por 1/\mu_{0} obtemos
\vec{S}=\hat{x}\frac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\sin^{2}(kx-\omega t).
Podemos usar c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} para reescrever 1/(\mu_{0}c)=\varepsilon_{0}c, portanto uma forma alternativa é
\vec{S}=\hat{x}\,\varepsilon_{0}c\,E_{m}^{2}\sin^{2}(kx-\omega t).
Isto mostra que a energia é transportada na direção +x (mesma direção de propagação da onda), de forma oscilante em tempo com média positiva.]

Resposta

(a) Sim. A equação da onda \nabla^{2}\vec{E}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=\vec{0} é satisfeita porque \partial_{x}^{2}E_{y}=-k^{2}E_{y} e \partial_{t}^{2}E_{y}=-\omega^{2}E_{y}, e com \omega=ck obtemos igualdade.
(b) \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0.
(c) B_{x}=0,\quad B_{y}=0,\quad B_{z}=\dfrac{E_{m}}{c}\sin(kx-\omega t).
(d) \displaystyle \vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}=\hat{x}\frac{E_{m}^{2}}{\mu_{0}c}\sin^{2}(kx-\omega t)=\hat{x}\,\varepsilon_{0}c\,E_{m}^{2}\sin^{2}(kx-\omega t).

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